方程

方程（equation）是指含有未知数的等式。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。

早在3600年前，古埃及人写在草纸上的数学问题中，就涉及了方程中含有未知数的等式。公元825年左右，中亚细亚的数学家阿尔·花拉子米曾写过一本名叫《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法。

方程中文一词出自古代数学专著《“方”意为并列，“程”意为用算筹表示竖式。九章算术卷第八（一）为：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？（现今有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍共有39斗；有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆，打出的黍共有34斗；有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍共有26斗。问1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少斗黍？）答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉，四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之三。方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。以上是出自《九章算术》中的三元一次方程组，并展示了用“遍乘直除”来消元以解此方程组。魏晋时期的大数学家刘徽在公元263年前后为《九章算术》作了大量注释，介绍了方程组：二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。他还创立了比“遍乘直除”更简便的“互乘相消”法来解方程组。

方程是含有未知数的等式，这是小学教材中的逻辑定义，而含未知数的等式严格说不一定是方程，如

。方程严格定义如下:形如

的等式，其中

和

是在定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是常数。

方程一定是等式，但等式不一定是方程。例子：

符合等式，有未知数。这个是等式，也是方程。

，

。这两个式子符合等式，但没有未知数，所以都不是方程。在定义中，方程一定是等式，但是等式可以有其他的，比如上面举的

，

，都是等式，显然等式的范围大一点。

1.移项变号：把方程中的某些项带着前面的符号从方程的一边移到另一边，并且加变减，减变加，乘变除以，除以变乘；2.等式的基本性质性质1等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若

，c为一个数或一个代数式。则： (1)

(2)

性质2等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若

，c为一个数或一个代数式（不为0）。则：

或

性质3若

,则

（等式的对称性）。性质4若

,

则

（等式的传递性）。

方法一：1.能计算的先计算； 2.转化——计算——结果方法二：从前往后算，算到只剩一个数时便可直接计算。

方程式或简称方程，是含有未知数的等式。即：⒈方程中一定有含一个或一个以上未知数的代数式；2.方程式是等式，但等式不一定是方程。未知数：通常设x.y.z为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以。“次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似。指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项。而次数最高的项，就是方程的次数。“解”：方程的解，指使，方程的根是方程两边相等的未知数的值，指一元方程的解，两者通常可以通用。解方程：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，或说明方程无解的过程叫解方程。方程中，恒等式叫做恒等方程，矛盾式叫做矛盾方程。在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如，在 时等号成立。使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。方程的同解原理：⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

只含有一个未知数，且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程（linear equation with one unknown）。通常形式是

(a，b为常数，且a≠0）。一般解法

1. 去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数。
2. 去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定使计算简便。可根据乘法分配律。
3. 移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。(一般都是这样：（比方）从

   得到

   ；把未知数移到一起！

4. 合并同类项 将原方程化为

   的形式。

5. 化系数为一 方程两边同时除以未知数的系数。
6. 得出方程的解。

例如：

解：

（注：解方程时最好把等号对齐）

教学目标

1. 使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简单的应用题
2. 培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力
3. 使学生初步养成正确思考问题的良好习惯．

重点难点一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．教学过程一、从学生原有的认知结构提出问题在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题．例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数．(首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书)解法1：

．答：某数为3．(其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成)解法2：设某数为x，则有

解：

解之，得

．答：某数为3．纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程．本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15%后，还剩余42500千克，这个仓库原来有多少面粉？师生共同分析：

1. 本题中给出的已知量和未知量各是什么？
2. 已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？(原来重量-运出重量=剩余重量)
3. 若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？

上述分析过程可列表如下：解：设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，由题意，得x-15%x=42500，x-15%x=42500解：(1-15%)x=4250085%x=42500x=42500÷85%x=50000所以 x=50000．答：原来有 50000千克面粉．此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？(还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量)教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程(2)例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿．依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈；最后，根据学生总结的情况，教师总结如下：(1)仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系；用字母(如x)表示题中的未知数(2)根据题意找出相等关系．(这是关键一步)(3)根据相等关系，正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等(4)求出所列方程的解(5)检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义．

人教版7年级数学下册第四章会学到，冀教版7年级数学下册第九章会学到。在人教版九年级上英语讲爱因斯坦时也会涉及

• 二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程，叫二元一次方程(linear equation of two unknowns)。
• 二元一次方程组定义：由两个二元一次方程组成的方程组，叫二元一次方程组(system of linear equation of two unknowns)。
• 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
• 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

一般解法消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。消元的方法有两种：替代擦除源例：解方程组

解：由①得

把③带入②，得

解得

把

带入③，得

即

所以

这种解法就是代入消元法。加减消元例：解方程组

解：①+②，得

，即

把

带入①，得

，解得

∴

这种解法就是加减消元法。二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组

①

的解为

。2.有无数组解如方程组

①

②，因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。3.无解如方程组

①

②，因为方程②化简后为

，这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown)。由一次方程到二次方程是个质的转变，通常情况下，二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多。

一般解法一般解法有四种：⒈公式法（直接开平方法）⒉配方法3.因式分解法4.十字相乘法十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。例1 把

分解因式。分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：

分解常数项：

.用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

斜线交叉相乘

斜线交叉相乘

斜线交叉相乘

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解为：

。一般地，对于二次三项式

，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即

，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式

的一次项系数b，即

，那么二次三项式就可以分解为两个因式

与

之积，即：

斜线交叉相乘

像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。总结：①

型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

②

型的式子的因式分解如果能够分解成

，且有

时，那么

1．直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如

的方程，其解为

.2．配方法：用配方法解方程

先将常数c移到方程右边：

将二次项系数化为1：

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：

方程左边成为一个完全平方式右边通过计算得到一个常数：

最后使用直接开平方法求解3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式

的值，当

时，无解；方程当

时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式

就可得到方程的根。4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。二元二次方程：含有两个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程。

与二元一次方程类似，三个结合在一起的含有三个未知数的一次方程

三元一次方程

与二元一次方程类似，可以利用消元法逐步消元。

解法

某地区为了鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨按0.9元/吨收费；超过10吨而不超过20吨按1.6元/吨收费；超过20吨的部分按2.4元/吨收费。某月甲用户比乙用户多缴水费16元，乙用户比丙用户多缴水费7.5元。已知丙用户用水不到10吨，乙用户用水超过10吨但不到20吨。问：甲。乙。丙三用户该月各缴水费多少元(按整吨计算收费)?解：设甲用水x吨，乙用水y吨，丙用水z吨显然，甲用户用水超过了20吨故甲缴费：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23乙缴费：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-9丙缴费：0.9z2.4x-23=1.6y-7+161.6y-7=0.9z+7.5化简得3x-2y=40……(1)16y-9z=145……(2)由(1)得x=(2y+40)/3所以设y=1+3k,3<k<7当k=4,y=13,x=22,代入(2)求得z=7当k=5,y=16,代入(2),z没整数解当k=6,y=19,代入(2),z没整数解所以甲用水22吨，乙用水13吨，丙用水7吨甲用水29.8元，乙用水13.8元，丙用水6.3元</CA>

设方程组①：

把方程(1)×(-i1/a1)加到（i）上，再把方程(2)×(-i2/a2)加到（i）上，以此类推。最后的许多0=0可以舍去，不影响方程的解。可以分三种情况：（1）cr+1≠0此时，满足前r各方程的任意一个解，都不能满足0=cr+1这个方程，所以②无解，所以①也无解当cr+1=0时，又分两种情况：（2）r=n因为bii≠0,所以从最后一个方程可解出xn。然后代入第r-1个方程，解出xn-1。如此类推，可得出方程组②的唯一解，就是方程组①的唯一解。（3）r<n可把方程组该成他的同解方程组③：b11 x1+b12 x2+b13 x3+…+b1r xr=c1-b1,r+1 xr+1-…-b1n xnb22 x2+b13 x3+…+b2n xr=c2-b2,r+1 xr+1-…-b2n xn………………brr xr=cr-br,r+1 xr+1-…-brn xn设等号后面的数是已知数，按照（2）的方法来解，可解得：x1=d11 xr+1+d12 xr+2+…+d1,nr xnx2=d21 xr+1+d22 xr+2+…+d1,nr xn………………xr = dr1 xr + 1 + dr2 xr + 2 +… + dr, nr xn令自由未知量xr+i=ki(i∈N且i∈[1，n-r])可得方程组的全部解：x1=d11 k1+d12 k2+…+ d1,nr kn-rx2=d21 k1+d22 k2+…+d1,nr kn-r………………xr = dr1 k1 + dr2 k2 +… + dr, nr kn-rxr + 1 = k1xr+2=k2…………xn=kn-r

克莱姆法则（此法只适用于m=n且D≠0的方程组）设系数行列式D=∣a ij∣,Di是D把i列换成结果的行列式那么xi=Di/D(i∈N且i∈[1，n])矩阵和向量解法矩阵解法即把方程组①的增广矩阵进行初等行变化。向量解法即把方程组①改写成

的形式。先求出方程组的特解η，然后求其对应导出组Ax=0的解

。方程组的解为：

。

(1)一般式： Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0) 适用于所有直线直线l1：A1x+B1y+C1=0直线l2：A2x+B2y+C2=0两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2两直线垂直时：A1A2+B1B2=0两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2两直线相交时：A1/A2≠B1/B2(2)点斜式：知道直线上一点

,并且直线的斜率k存在，则直线可表示为

。当k不存在时，直线可表示为

(3)截距式：若直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为：

。所以不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线。(4)斜截式：

(5)两点式：若直线过任意两点

，且

，则直线可以表示为

(6)法线式：

一般地，n元一次方程就是含有n个未知数，且含未知数项次数是1的方程，一次项系数规定不等于0n元一次方程组就是几个n元一次方程组成的方程组（一元一次方程除外）一元a次方程就是含有一个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）n元a次方程就是含有n个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）方程（组）中，未知数个数大于方程个数的方程（组）叫做不定方程（组），此类方程（组）一般有无数个解。

解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数总只数－鸡的只数=兔的只数解法2：（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数） =兔的只数总只数－兔的只数=鸡的只数解法3：总脚数÷2—总头数=兔的只数总只数—兔的只数=鸡的只数解法4（方程）：X=总脚数÷2—总头数（X=兔的只数）总只数—兔的只数=鸡的只数解法5（方程）：X=（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=兔的只数）总只数—兔的只数=鸡的只数解法6（方程）：X=（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=鸡的只数）总只数－鸡的只数=兔的只数

若用方程解鸡兔同笼问题，公式为：鸡脚+兔脚=总脚数。鸡为x例笼中共有30只鸡和兔，数一数足数正好是100只。问鸡和兔各有多少只？解：设鸡为x只，则兔为

只。

解：

答：鸡有10只，兔有20只。兔为x例笼中共有鸡兔100只，鸡兔足数共248只。问鸡兔各有多少只？解：设兔为x只，则鸡为

只。

解：

答：鸡有76只，兔有24只。

微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。详见微分方程微分方程是将一些函数与其导数相关联的数学方程。在应用中，函数通常表示物理量，衍生物表示其变化率，方程定义了两者之间的关系。因为这种关系是非常常见的，微分方程在包括工程，物理，经济学和生物学在内的许多学科中起着突出的作用。在纯数学中，微分方程从几个不同的角度进行研究，主要涉及到它们的解 - 满足方程的函数集。只有最简单的微分方程可以通过显式公式求解；然而，可以确定给定微分方程的解的一些性质而不找到其确切形式。如果解决方案的自包含公式不可用，则可以使用计算机数值近似解决方案。动力系统理论强调了微分方程描述的系统的定性分析，而已经开发了许多数值方法来确定具有给定精确度的解决方案。

普通微分方程或ODE是包含一个独立变量及其导数的函数的方程式。与“偏微分方程”相比，术语“普通”与对于多于一个的独立变量相关。具有可以被加上和乘以系数的解的线性微分方程被明确定义和理解，并且获得精确的闭合形式的解。相比之下，缺乏添加剂解决方案的ODE是非线性的，解决它们是非常复杂的，因为很少以封闭形式的基本函数表示它们：相反，ODE的精确和分析解决方案是串联或整体形式。通过手动或计算机应用的图形和数值方法可以近似ODE的解，并且可能产生有用的信息，通常在没有精确的解析解的情况下就足够了。

偏微分方程（PDE）是包含未知多变量函数及其偏导数的微分方程。 （这与处理单个变量及其派生词的函数的普通微分方程相反）。PDE用于制定涉及几个变量的函数的问题，或者手动解决或用于创建相关的计算机模型。PDE可用于描述各种各样的现象，如声，热，静电，电动力学，流体流动，弹性或量子力学。这些看似不同的物理现象可以在PDE方面类似地形式化。正如普通微分方程常常模拟一维动力学系统一样，偏微分方程通常模拟多维系统。 PDEs在随机偏微分方程中找到它们的泛化。

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