级数（Series），又称无穷级数，是表示无穷个数相加的函数。级数主要分为数项级数和函数级数两类，它通常可以用来研究函数性质、进行数值计算。
定义
级数即无穷个数相加，可分为数项级数以及函数项级数。
数项级数
假设
是一个数列。数列中所有的数依次相加：
就称为级数。假设
是一个数列。对于任意正整数
，称
为级数
的通项，或一般项。称
为级数
的第
部分和，或者前
项部分和。由部分和构成的数列
称为该级数的部分和序列。如果级数的部分和序列
存在极限
，则称级数
收敛，并称
为该级数的和，记作
。如果部分和序列
的极限不存在，就称级数
发散。发散的级数没有和数。
函数级数
设
是定义在区间
上的一列函数。如果对每个
，级数
收敛，并且令
，则
就是定义在
上的一个函数。级数
称为函数级数，称
为该函数级数的和函数。如果函数级数
在点
收敛，则称
为级数
的一个收敛点，全体收敛点组成的集合称为它的收敛域。
历史
古代
无穷级数的理论在历史上经历了长期的发展过程。古希腊时代已经有了公比小于1的无穷几何级数的概念，亚里士多德（Aristotle）认识到了这类级数的收敛性。在古代中国，沈括提出了求取连续相邻整数平方和的公式，成为中国数学史上求解高阶等差级数之和的首个例证。继沈括之后，杨辉利用等差级数的求和公式，创造性地构建了三阶和四阶幻方，展示了等差级数在组合数学中的应用。朱世杰在沈括和杨辉的基础上进一步深入研究高阶等差级数求和问题，提出了“垛积术”，给出了更为复杂的三角垛计算公式，相关的计算方法被称为“招差术”。到了15世纪中叶，欧洲数学家开始研究特殊的数项级数，法国数学家奥尔斯姆（Oresme）证明了调和级数的发散性。
亚里士多德雕像
近代
17世纪，级数已成为微积分证明和计算的重要工具。在1669年，英国数学家牛顿（Newton）利用二项式展开定理，把一个函数在特定点的面积增量（或变化率）与该点处的函数值之间的关系表述为一个无穷级数。而德国数学家莱布尼茨（Leibniz）在1673年发现了圆周率的无穷级数表达式。18世纪，级数理论取得显著进展，包括函数展开成级数的研究、泰勒级数的提出以及三角级数的研究。这一时期，瑞士数学家伯努利（Bernoulli）发现了导出指数级数的伯努利数。英国数学家泰勒（Taylor）得出了“泰勒公式”，使得任意函数都可能展开为幂级数。英国数学家麦克劳林（Maclaurin）得出了泰勒级数中
的特殊情形——“麦克劳林级数”。法国数学家达朗贝尔（d'Alembert）发明了“达朗贝尔判别法”，通过比较正项级数相邻两项的比值来判断该级数是收敛还是发散。法国数学家拉格朗日（Lagrange）用连分数给出了求方程实根近似值的方法，并致力于用幂级数来表示任意函数。瑞士数学家欧拉（Euler）不仅提出了大量公式，还将复数项级数用于数论等领域。然而，当时对级数的收敛与发散的理解仍不够清晰，缺乏严格的处理。19世纪初，级数理论的严密化工作开始取得进展。1811年，法国数学家傅里叶（Fourier）给出了级数收敛性的明确定义。1812年，德国数学家高斯（Gauss）严格处理了超几何级数，标志着级数理论的一个重要发展。1821年，法国数学家柯西（Cauchy）在其《分析教程》中建立了收敛性的近代理论基础，并对复变函数论的形成产生了重要影响。1826年，挪威数学家阿贝尔（Abel）对二项级数给出了第一个严格证明，并研究了幂级数和函数的连续性。19世纪中叶，德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）明确了函数项级数与含参数广义积分一致收敛的充分条件。1862年，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）在文章中发表了关于数项级数、函数级数、广义积分和含参量广义积分的收敛与一致收敛性的四个判别法，即“狄利克雷判别法”。德国数学家黎曼（Riemann）证明了黎曼局部化原理，明确了一致收敛的概念，研究了级数的逐项积分和项的重排问题，从而使无穷级数的收敛性理论趋向完整。
奥古斯丁-路易·柯西
分类与常见实例
数项级数
正项级数
级数指无穷多个数相加。如果对
都有
，就称级数
为正项级数。例如，
，
都是正项级数。几何级数：
，
，
为常数。当
时，
，
，所以该级数收敛，其和为
。当
时，级数的通项不趋向于零，所以发散。超几何级数：
定义为级数
当
和
且
时收敛，且
满足常微分方程
。
级数：
，且当
时，
级数发散。当
时，
级数即为调和级数。例如，
。
任意项级数
任意项级数
是指
可正可负的级数，例如，
，
。交错级数：任意项级数中较为特殊的一种，它的项正负交错地出现。例如，
，一般记为
，其中
。
函数级数
幂级数
一般项为
的函数项级数，即
称为幂级数。当
时，它具有更简单的形式
，其中
是一个数列。例如，
，
，
。泰勒级数：若
在
的某个邻域中有任意阶导数，则称形如
的幂级数为
在
的泰勒级数，记为
。洛朗级数：把函数
展开为关于
的级数形式，即
，这种既含有
的正方幂项，又含有负方幂项
的级数形式称为洛朗级数，一般形式为
，标准形式
为
。矩阵级数：设
是
中的矩阵序列，其中
，无穷和
称为矩阵级数。称
为矩阵级数
的部分和。如果部分和序列的极限存在，即
，则称矩阵级数
收敛，并称
为矩阵级数
的和，记为
；不收敛的矩阵级数称为发散级数。
三角级数
将正弦函数
按三角公式变形，得
，并且令
，
，
，
（即
），则正弦函数可以改写为三角级数
，其中
都是常数。傅里叶级数：对于任意的
，称由
和
确定的
和
为
的傅里叶系数；由这些傅里叶系数组成的三角函数级数
为
的傅里叶级数。
相关概念
绝对收敛和条件收敛
如果级数
各项的绝对值所构成的正项级数
收敛，那么称级数
绝对收敛。如果级数
收敛，而级数
发散，那么称级数
条件收敛。
一致收敛
设有函数级数
。如果对于任意给定的正数
，都存在着一个只依赖于
的正整数
，使得当
时，对区间
上的一切
，都有不等式
成立，那么称函数级数
在区间
上一致收敛于和
，也称函数序列
在区间
上一致收敛于
。
级数收敛的性质
数列级数
性质一：如果级数
收敛于
，那么级数
也收敛，且其和为
。性质二：如果级数
与
分别收敛于和
与
，那么级数
也收敛，且其和为
。性质三：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。性质四：如果级数
收敛，那么对这级数的项任意加括号后所成的级数
仍收敛，且其和不变。性质五：若级数
收敛，则必有
，该性质又称级数收敛的必要条件。
函数级数
性质一：如果级数
的各项
在区间
上都连续，且
在区间
上一致收敛于
，那么
在
上也连续。性质二：如果级数
的各项
在区间
上连续，且
在
上一致收敛于
，那么级数
在
上可以逐项积分，即
，其中
，并且上式右端的级数在
上也一致收敛。性质三：如果级数
在区间
上收敛于和
，它的各项
都具有连续导数
，并且级数
在
上一致收敛，那么级数
在
上也一致收敛，且可逐项求导，即
。性质四：如果幂级数
的收敛半径为
，那么此级数在
内的任一闭区间
上一致收敛。性质五：如果幂级数
的收敛半径为
，那么其和函数
在
内可导，且有逐项求导公式
，逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径。
审敛法
数项级数
比较审敛法
设
和
都是正项级数，且
。若级数
收敛，则级数
收敛；反之，若级数
发散，则级数
发散。比较审敛法的极限形式：设
和
都是正项级数，
- 如果
，且级数
收敛，那么级数
收敛；
- 如果
或
，且级数
发散，那么级数
发散。
比值审敛法
设
为正项级数，如果
，那么当
时级数收敛，
（或
）时级数发散，
时级数可能收敛也可能发散。
根值审敛法
根值判别法也称柯西判别法。设
为正项级数，如果
，那么当
时级数收敛，
（或
）时级数发散，
时级数可能收敛也可能发散。
极限审敛法
设
为正项级数：
- 如果
（或
），那么级数
发散；
- 如果
，而
，那么级数
收敛。
莱布尼兹判别法
如果
递减趋于
，那么交错级数
收敛。
函数级数
魏尔特拉斯判别法
如果函数级数
在区间
上满足条件：
；
- 正项级数
收敛。
那么函数项级数
在区间
上一致收敛。
狄利克雷判别法
设级数
在区间
上满足下面两个条件：
对每个固定的
都是单调的，且在
上一致收敛于0。
- 级数
的部分和在
上一致有界，即
。
那么级数
在
上一致收敛。
阿贝尔判别法
设级数
在区间
上满足下面两个条件：
对每个固定的
都是单调的，且在
上一致有界，即
；
- 级数
在
上一致收敛。
那么级数
在
上一致收敛。
级数求和
利用定义
已知：
常定义为
，这样若求得
之后，再取极限
即可。在求
时，常结合数学归纳法。例如：试求
。解：先将级数通项变形，然后将级数前后项相消，有
。故
。
逐项微分积分
将一个级数求和问题化为两个级数求和问题时，在同一个级数求和式中既需要逐项微分，又需要逐项积分。例如：求级数
的和函数，其中
。解：令
，则考虑
，而
，则
。故
。
函数展开
数项级数的求和问题，除了直接方法（如利用定义、通项变形），多是通过函数幂级数或傅里叶级数展开后赋值而得到。例如：求级数
的和。解：作
。而
，故
，取
，则有
。
利用乘积
有些级数可以视为两个无穷级数的乘积，这时便可将所求级数和问题化为先求两个级数积，再计算它们的乘积。若级数
与
均收敛，又
也收敛，其中
，则
。若级数
与
都收敛，且至少其中之一绝对收敛，则
收敛于
。例如：求级数
的和函数
，这里
。解：
。
利用欧拉公式
欧拉公式
，常可使用某些含有三角函数的级数求和问题，转化为幂级数问题。例如：求级数
；
的和函数（这里
）。
解：考虑等式
，又
。比较两边虚实部则有：
；
。
推广
拓扑与级数
在赋范空间中，级数的无条件柯西性质等及对应的收敛性有如下定义：
是赋范空间，
是
中的序列。
称
是无条件柯西（相应地，无条件收敛）级数，若（相应地，
满足）
，
，使得
且
时，有
（相应地，当
时，
）。称
是子列柯西（相应地，子列收敛）级数，若对
中任意递增数列
，级数
满足柯西条件（相应地，在
中收敛）。称
是有界乘子柯西（相应地，有界乘子收敛）级数，若对
中任意有界序列
，
满足柯西条件（相应地，在
中收敛）。称
是重排柯西（相应地，重排收敛）级数，若对
的任意重排
，
满足柯西条件（相应地，在
中收敛）。称
是符号柯西（相应地，符号收敛）级数，若对任意只取值于
的序列
，
满足柯西条件（相应地，在
中收敛）。
- 若
是赋范空间，定义1中的5种柯西性质等价。
若
是赋范空间，定义1中的5种收敛性质有如下关系：有界乘子收敛
符号收敛
子列收敛
无条件收敛
重排收敛。若
是Banach空间，定义1中的5种收敛性质等价。
数论与级数
模形式和傅里叶级数
以及由相同的系数（除了
）外构成的狄利克雷级数
之间有所联系。如果
，那么当
是一个尖点形式时，有
，而当
不是尖点形式时，
。因此，如果
是一个尖点形式，那么当
时，狄利克雷级数
绝对收敛，而如果
不是尖点形式，那么当
时，狄利克雷级数
绝对收敛。当系数
满足积性
时并且狄利克雷级数
是绝对收敛时，它将具有形如
的欧拉乘积表达式。
应用
物理学
在物理学领域内，无穷级数被广泛应用于各种分析和现象的描述中。例如，对于质点位置的变化分析，通过将位置、速度、加速度等物理量与时间的关系展开成无穷级数（或泰勒级数），可以实现对质点在不同时间点位置的精确预测。此方法对于加速度非恒定情况尤其适用，即考虑到加速度的变化率（即加速度对时间的高阶导数），能够提供关于质点位置更为精确的估算。在磁力分析方面，在考虑电流密度及应用特殊相对论理论的情况下，当电子在导体内移动时，其速度与光速的比值远小于1，允许利用泰勒级数展开对负电流密度进行近似计算，从而分析导体内总电流密度的变化情况。
质点示意图
生物学
在生物领域中，级数的应用显著体现在对新冠肺炎疫情扩散速度的预测以及生物节律分析上。2020年3月，美国新冠肺炎疫情期间，通过分析20天的确诊病例数据，研究人员发现确诊人数的增长趋势符合几何级数的“J”型曲线，估算出病例每日增长倍数约为1.33。通过更精确的SEIR传染病模型对疫情发展进行预测，有助于科学制定防控策略。另一方面，通过对人体生物节律的研究，即体力、情绪和智力的周期性变化，使用幂级数和麦克劳林级数作为估算工具，可以预测个人在任何一天的状态，为个人安排工作和生活提供科学依据。
传统SEIR传染病模型效果图
经济学
在经济学问题中，无穷级数被用来处理涉及财务、投资回报、成本评估和预测等多种经济模型和计算。例如，无穷级数在奖励基金创立问题中用于计算初始资金需求，通过不同的利息计算方式（年复利与连续复利）得到不同的筹资金额。同样，合同订立问题、增添机器设备的决策、房子出售方案的比较，以及银行存款问题等，都可以通过无穷级数的应用，提供了精确的财务分析和解决方案。
投资回报示意图
注释
展开[a]上述乘积表达式中的p遍历所有的素数。
参考资料
展开
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