交集

交集（Intersection of sets），也称为积集，是集合论的基本概念之一，指的是两个或多个集合经交运算所得到的集合。

交集亦称积集，是集合论的基本概念之一，指两个或多个集合经交运算所得到的集合。对于任意两个集合

与

，由既属于

又属于

的元素所组成的集合

，称为

与

的交集，记为

，还可以用符号表述为

或

通常，称从两个集合

与

求出其交集的运算为集合的乘除或集合的交运算。

集合的概念可以追溯到古希腊，但是当时集合概念的认识有限，加上古典的数学分析无需集合论作为基础理论，所以集合没有得到发展。19世纪初期，数学界对数学分析基础的批判运动促进了集合论的诞生。1851年，数学家波尔查诺（Bolzano）发表著作《无穷悖论》，肯定了实无穷的存在，建立了集合等价的概念。1870年，德国数学家康托尔（Cantor）开始研究函数的三角级数表示的惟一性问题。之后在1871年至1872年，他在论文中逐步把三角级数展开的惟一性条件推广到允许例外值成为无穷集的情况。他把函数间断点问题的研究过渡到对点集本身的研究，明确地提出了点集、点集的导集、导集的导集等由实数构成的集合。

康托尔

1874年，康托尔提出集合的定义：“一个集合就是人们的直观或思想上那些确定的、能区分的对象（它们称为集合的元素）汇集在一起，作为一个整体来考虑的结果。”随着公理化方法的引入，集合论迫切需要形式化的语言。1895年，康托尔提出关于集合的基数概念，可以基于这个概念一般地表示一个集合。之后，他又给出了超限基数和超限序数的定义，引进了符号，并把它们按序型的大小排列成序列，定义了基数和序数的加法、乘法及乘方运算，讨论了各自的算术理论，即集合论的基数理论和序数理论。至此，他完成了集合论的基本内容。

例1：设

，集合

，则

。例2：设集合

，集合

，则

。

A，B空集示意图

空集是集合论的一个重要概念，没有任何元素的集合称为空集，用符合

表示，其表达式用符号可以表述为

或者

。对于任何集合

，都有

，即空集是任意集合的子集。

并集亦称和集，是集合论的基本概念之一，指两个（或多个）集合经并运算所得到的集合。对于任意两个集合

和

，由属于

或属于

的元素所构成的集合

，称为

与

的并集，记为

，这个集合还可以用符号表述为

或

。

并集示意图

在集合论的任何应用中，所讨论集合的元素往往都属于一个大的集，叫做全集。例如在平面几何中，全集由平面上的所有点构成；而在人口学的研究中，全集则是世界上所有的人。且全集是相对的，一个集合在一定条件下是全集，在另一种条件下就可能不是全集。例如，讨论问题仅限于整数，则全体整数组成的集合为全集，如果讨论问题包含整数和分数，则全体整数组成的集合就不是全集。

设

是一个非空集合，

是一个集族，如果对于每一个

，在

中都有一个集合

与之对应，而

的每个成员都对应

的某一个元素，则称

是以

为指标集的集族，记为

或

。

交集运算的交换律公式为：

。

交集运算的结合律公式为：

。更一般形式交的结合律

，其中

是集族

的标号集，

是集族

的标号集，

。

交集运算的幂等律公式为：

。

更一般形式交对并的分配律

。

如果

。

全集为交运算的单位元全集

为交运算的单位元，则

。全集充要条件

的充分必要条件为

。

对于任何集合

，有

。若

，则集合

与

不相交。

交集与卡诺图化简过程中的圈图具有很大的共性，卡诺图化简法是逻辑函数化简常用的一种化简方法，对于多变量的逻辑函数，应用交集后卡诺图只需记住每个变量在图中的位置，比应用交集之前需记住每个最小项的具体位置更加简单容易。卡诺图中的每个变量及每个小方格所代表的最小项可以也可以用集合和元素的关系来描述。如果规定每个变量（或者对应的非变量）为一个集合，那么对应的最小项属于该集合的一个元素。例如三变量逻辑函数表达式中的最小项

中含有变量

，可以认为该最小项既属于集合

又属于集合

，也属于集合

；也可以认为该最小项是

三个集合的交集。再比如四变量逻辑函数表达式中的最小变量

、

、

、

中都含有

和

两个变量，我们可以认为这四个变量是集合

和集合

的交集，此时这四个最小项可以用表达式

表示。

三变量逻辑函数

三维视图很难构建，但是利用三维软件分别拾取主视图与俯视图的最外轮廓线作为草图，分别从宽度方向和高度方向拉伸成柱体，然后对两个柱体求交集即可以得到其三维视图。通过大量实例验证，在重建此类主要由柱体通过“交集”运算得到的集合体的三维模型时，该方法具有通用性。在重建许多比较复杂的组合体时 ，此方法可以有效简化三维模型重建的步骤 ，提高重建的速度。

三维模型

旋量理论以其对空间直线运动直观的几何描述和在相关代数运算中集成的数学形式，是机构学与机器人学研究中的数学工具之一。旋量与六维空间向量之间的联系会使用到交集运算，通过旋量系的交集与并联机构动平台的运动旋量空间之间的联系，可将旋量系的交集计算应用于并联机构动平台的运动分析与活动度计算中。

人工智能机器人