像差

像差（Aberration）是实际光学系统中，由非近轴光线追迹所得的像与由高斯光学(一级近似理论或近轴光线) 得到的像之间的偏差。在光学中，像差是光学系统（如透镜）的特性，它会导致光线分散到空间的某个区域，而不是聚焦到一点。像差会导致透镜产生模糊或失真的图像，失真的性质取决于像差的类型。像差可定义为光学系统的性能偏离剖面光学预测的情况。在成像系统中，当物体的一个点的光线穿过系统后不会汇聚成一个点（或不会从一个点发散出去）时，就会发生像差。像差的产生是因为简单的剖面理论并不能完全准确地模拟光学系统对光线的影响，而非光学元件的缺陷所致。

1827年，爱尔兰数学家、物理学家哈密顿（Sir William Rowan Hamilton，1805~1865）发明了新的光学理论，可以用一个一般性的方法研究光学系统。该理论的一个关键概念是特征函数，一个光学系统可以由一个特征函数描述，即现在已知的哈密顿特征函数，它不仅可以解决成像问题，还可以处理像差问题，是几何光学系统的普遍理论和基础。

哈密顿

1841年，德国著名数学家、物理学家高斯（Gauss，1777~1855）建立了高斯光学，它是将近轴光束的共心性和成像的相似性加以推广，即将近轴光锐成像扩大到整个成像区域。这显然是一种理想情况，因此，高斯光学又被称为理想光学系统的理论。1857年，德国数学家菲利普·路德维希·冯·赛德尔（Philipp Ludwig von Seidel， 1821~1896年）将初级单色像差分解为五项，这便是现在几何光学中赛德尔像差的来历。赛德尔像差理论对各种像差都导出了具体的数学表达式，物理概念清楚，理论水平较高。如今，像差理论对光学自动设计过程中初始系统的确定、自变量的选择、像差参数的确定等一系列问题，仍有重要的指导意义。其中，初级像差理论（即赛德尔像差理论）是像差理论中最有实用价值的成果。

像差（Aberration）是实际光学系统中，由非近轴光线追迹所得的像与由高斯光学(一级近似理论或近轴光线) 得到的像之间的偏差。在实际光学系统中，由于像差和衍射的存在，物空间一点发出的光线无法在像空间完美会聚于一点，而形成一个弥散斑。除平面反射镜外，任何实际光学系统都存在像差。光学系统的几何像差可分为单色像差和色差。单色像差是指在单色光入射光学系统时产生的像差，按产生的效果，又分成使成像模糊和使成像变形的两类像差，前一类包括球差、彗差(正弦差)和像散，后一类包括场曲和畸变。色差是指在复色光入射光学系统时产生的像差，由于光学材料对不同波长的光具有不同的折射率，使得不同波长的光成像的大小和位置有所差异，色差包括位置色差(轴向色差)和倍率色差(垂轴色差)两种。

光轴上物点发出的光束经光学系统后，不同孔径的光线和光轴交点不同（即像点位置不同），这种现象称为球差。当光线平行于透镜或球面镜的光轴入射时，若距离光轴不同位置对平行光线的会聚程度不同，球差就会产生。

球差成像

下图中 A 为光轴上一物点，由它发出一条孔径角为 U 的光线，经光学系统后出射光线交光轴于 A' 点。

是理想像点，A' 和

点的距离称为球差。球差以理想像点

为原点，用符号

表示。

球差

由于球差是轴上点像差，在球差的作用下，整个视场内的图像都被同样程度地模糊了。球差与透镜的形状因子、折射率、光阑位置以及焦距等因素有关，此外，减小焦距也将加剧球差。

当离轴平行光线的焦点取决于通过透镜或到达透镜的路径时，可以看到彗差。当与光轴成一定角度的平行光线入射，由于主光轴附近光线在焦平面的投影和透镜边缘光线在焦平面上的投影大小不同，彗差就会产生。如下图，为简化起见，设入瞳和出瞳重合，根据定义，轴外物点和光轴构成的平面为子午面，过主光线作子午面的垂面为弧矢面。可以看出通过孔径边缘的光线在像面上的交线为一个圆，如图 (b)所示，同理，孔径中间圆周通过的光线对应于 (b) 中的小圆。

(a) 彗差的形成 (b) 彗差在像面上的分布

可见，越靠近孔径中心的圆周，通过它的光线的交线形成的圆越小，且越靠近主光线和像面的交点 B'。全孔径光束在像面形成的光斑为彗星状，故称彗差。孔径边缘上、下光线在像面的交点 aa 至 B' 点的距离称为子午彗差，用

表示；孔径边缘弧矢光线在像面的交点 bb 至 B' 点的距离称为弧矢彗差，用

表示。一般，

。朝向光轴的彗差称为正彗差，远离光轴的彗差称为负彗差。因为球面总成呈均匀对称的几何形状，然而，不会产生球差的抛物面镜将会产生彗差，因此为避免彗差，抛物面镜仅在光轴附近很窄的范围内进行工作。在成像上，彗差随视场的增加呈线性增长。在彗差的作用下，图像的模糊度也成线性增加。

由于轴外物点不在光学系统的光轴上，因此它所发出的光束相对于光轴有一倾斜角。若光学系统带有像散，则光学系统的水平方向和垂直方向光焦度不同，使子午细光束与弧矢细光束的会聚点不再一个点上，形成轴外物点的子午像与弧矢像。像散定义为子午焦平面和弧矢焦平面之间的纵向距离。像散与视场平方成正比，且和彗差、畸变、场曲、倍率色差一样与光阑位置有关。对于正的像散，子午光束的焦点比弧矢光束的焦点更靠近透镜；对于负的像散，子午光束的焦点比弧矢光束的焦点更远离透镜。在仅含有像散的光学系统中，子午焦线和弧矢焦线之间，点源的像为一个椭圆或圆形弥散。

像散

场曲也叫“像场弯曲”。理想光学系统成像时，物面为平面，像面也为平面。实际光学系统由于折射面一般为球面（或非球面），成像面变为曲面，此曲面和理想成像平面之差称为场曲。在成像上，场曲有时也可以理解为视场聚焦后像面的弯曲。虽然每个物点通过透镜系统后自身都能成一个清晰的像点，但所有像点的集合却是一个曲面。很多光学系统会使用曲面像面来更好地校正场曲，这时无论将像平面选取在任何位置，都不可能得到整个物体清晰的像，而是得到一个清晰度随像面位置渐变的像。场曲对图像的模糊程度随视场的四次方线性增长。

场曲

当主光线的实际角放大率不等于 +1 时，即像方主光线不和物方主光线平行时，像方主光线和理想像面的交点不和理想像点重合，这种现象称为畸变。如下图，用

表示畸变，则

。

畸变的形成

若畸变为负值，称为桶形畸变；若畸变为正值，称为枕形畸变。如下图，(a) 表示理想像，(b) 为枕形畸变，(c) 为桶形畸变。

畸变

畸变和视场的三次方成正比。畸变不影响成像的清晰度，但会使成像的几何形状发生变化。

一束白光经光学系统第一个折射面后，各种单色光就被分开了，随后就在光学系统内部以各自的光路传播，造成了各种单色光之间成像位置和大小的差异，描述这种差异的像差就是色差。

色差成像

色差有两类，即位置色差（轴向色差）和倍率色差（垂轴色差）。

位置色差，指不同波长的光束通过透镜后焦点位于沿轴的不同位置，因为它的形成原因同球差类似，也被称为球色差。由于多色光聚焦后沿轴形成多个焦点，无论把像面置于何处都无法看到清晰的光斑，看到的像点始终是一个色斑或彩色晕圈。

倍率色差，指轴外视场不同波长的光束通过透镜聚焦在像面上高度各不相同，也就是每个波长的光畸变不同（成像后的放大率不同）。多个波长的焦点在像面高度方向依次排列，最终看到的像面边缘将产生彩虹边缘带。为了减小色差，常常用两个或更多不同材料制成的透镜来代替单一材料制成的透镜，使每个透镜的色差部分相互抵消，这样可将一定波长范围内的光聚焦到同一焦点。

光学系统对单色光成像时产生的像差称为单色光像差。其中，有随孔径增大而产生的像差，光轴上物点成像时即有这种性质，故称为轴上点像差；有随孔径和视场增大而产生的像差；还有仅由视场增大而产生的像差，这些统称为轴外像差。绝大多数光学系统对白光成像，白光是由不同波长的色光组成的，而光学材料对不同波长的光线又具有不同的折射率，因此不同波长光线的成像位置和大小都是不同的。光学系统对复色光成像还存在色差。各种像差都与光学系统结构（r，d，n）及物体位置和大小有关。对一定位置和大小的物体成像时，像差是光学系统结构参数（r，d，n）的函数，但由于关系复杂而无法写出具体的函数形式。为了研究方便，常把像差展开成级数。例如轴上点像差球差δL′可展开成光线入射高度h的级数式：

式中，第一项称为初级球差，第二项称二级球差，依此类推。二级以上各级像差之和称为高级像差。研究光学系统像差规律，形成像差理论。它的主要内容包括：按照像差形成的规律进行分类，并给以明确定义；对已知的光学系统结构进行光路计算，求取像差的数值；研究光学系统各个折射面产生的像差对总像差的贡献，以便指导像差的校正；研究光学系统的结构和像差的关系，导出初级像差的近似计算公式，以分析像差性质和按近似公式设计出光学系统的初始结构参数；根据仪器使用条件，对各种光学系统提出像差要求，以及光学系统的质量评价方法及像差容限等。设计光学系统时，首先按物理光学和几何光学理论提出光学系统原理方案。然后用像差理论来确定其具体的结构，虽然这是光学系统设计问题，实质上是像差理论的具体应用。

波像差（Wave aberration）又称波前像差，是从波动观点出发，考虑出射光的波面相对入射光波面的畸变，被定义为波阵面与参考球面之间沿光线方向的距离（光程差）。几何像差和波像差之间存在着一定的对应关系，我们可以由波像差求出几何像差，也可以由几何像差求出波像差。对像差比较小的光学系统，波像差比几何像差更能反映系统的成像质量。一般认为，若最大波像差小于四分之一波长，则实际光学系统与理想光学系统没有显著差别。

散光是由于透镜的单个区域无法将轴外点的图像聚焦在单个点上而造成的。如图所示，通过光轴的两个相互垂直的平面是子午面和矢状面，子午面是包含轴外物体点的平面。不在子午面的光线称为倾斜光线比位于平面的光线聚焦得离镜头更远。无论哪种情况，光线都不会在焦点处相遇，而是以相互垂直的线相交。在这两个位置之间，图像呈椭圆形。

三维示意图

当来自图像锥体垂直横截面的光线在光轴上焦距不一致时，就会发生像散，因此，它既是聚焦误差，也是放大误差。像散在光学系统中很普遍，并且发生在通过任何折射透镜的所有轴外光中。这是最难纠正的像差。

散光

摄影师拍摄广角照片以欣赏不断扩大的视野、永远不会错过任何人的群像或具有壮观风景背景的合成主题。尽管手机上的广角摄像头迅速普及，但更宽的视场 （FOV） 会带来更强的透视失真。最值得注意的是，脸部被拉伸、挤压和歪斜，看起来与现实生活截然不同。纠正这种失真需要专业的编辑技巧，因为琐碎的操作可能会引入其他类型的失真。

图像场曲率以匈牙利数学家约瑟夫·马克思·佩茨瓦尔的名字命名为佩茨瓦尔场曲率(Petzval field curvature)。对于会聚透镜，图像的边界区域是向透镜一侧弯曲的，而对于发散透镜，图像的边界则是向透镜另一侧弯曲的。用反曲率场曲平面透镜(field curature flattening lens)可校正场曲。

失真是最容易识别的像差，因为它会使整个图像变形。失真是由于镜头（或镜子）边缘部分的放大率与中心部分的放大率不相等而产生的。在“桶形失真”中，图像放大率随着与光轴的距离而减小。在“枕形失真”中，图像放大率随着与光轴的距离而增加。色差是一种失真，由于镜头的色散（镜头对不同波长的光具有不同的折射率），镜头无法将所有颜色聚焦在同一个会聚点上。球形透镜和镜子也存在同样的问题。穿过中心区域的平行光线会比穿过边缘的光线聚焦得更远。结果会产生许多焦点，从而产生模糊的图像。

失真像差

失真有两种特征。在正或直线失真中，放大率朝向视场边缘增加，这会导致直线看起来向外弯曲，即使图像是静止的；在负或角度放大失真中，放大率朝向视场边缘减小，这会导致直线看起来投射到朝向观看者的弯曲球面上，这在光轴移动时尤其明显，然后图像看起来在视场边缘附近“滚动”。

负失真及正失真

透镜的球差总是欠校正，球差曲线以垂直轴为中心呈抛物线形状。注意到，在慧差几乎为零的同一形状处，球差有最小值。若该透镜用作望远物镜，覆盖的视场相当小，适于选择此类形状。值得注意，如果物和像都是“实的”(不是虚的)，则一个正透镜的球差总是负的(欠校正)。无论光阑设置在何处，轴向光线总是以同样方式人射到透镜，所以，移动光阑不会改变球差和轴向色差。注意到，产生最小球差的透镜形状会形成最大场曲，所以，能够得到轴上最佳成像的透镜形状不适合宽视场应用。图中两侧的弯月形透镜是宽视场应用的较好选择，尽管这些弯曲中球差较大，但成像面几乎是平面，这是廉价相机中经常使用的物镜类型。

像差随透镜形状的变化

赛德尔像差是由赛德尔像差多项式表示的波前的初级和三级像差。泽尔尼克多项式幂级数展开式的形式可用来描述光学系统的像差，它与赛德尔像差多项式有极为相似的形式。波前的初级和三级像差系数也可以用泽尔尼克多项式来表示。泽尔尼克多项式通常作为基底函数来拟合被检测光学元件波面。被拟合波面用 n 项泽尔尼克多项式表示为：

。其中，

为多项式的项数，

为第

项拟合系数，

为第

项泽尔尼克多项式。泽尔尼克项与像差的对应关系如下表：

泽尔尼克项与像差的对应关系

实际光学系统总有一定的通光孔径和一定的视场角或发光点不靠近光轴；另一方面由于成像光束多是由不同波长的光组成的，系统的折射率不为常数，所以，实际光学系统的成像与近轴光学所得的结果不同，两者间存在着偏离，我们把这种光学成像相对于近轴成像的偏离称为像差。在光学中，像差是光学系统（如透镜）的特性，它会导致光线分散到空间的某个区域，而不是聚焦到一点。像差会导致透镜产生模糊或失真的图像，失真的性质取决于像差的类型。像差可定义为光学系统的性能偏离剖面光学预测的情况。在成像系统中，当物体的一个点的光线穿过系统后不会汇聚成一个点（或不会从一个点发散出去）时，就会发生像差。像差的产生是因为简单的剖面理论并不能完全准确地模拟光学系统对光线的影响，而非光学元件的缺陷所致。

光学系统对单色光成像时产生的像差称为单色光像差。其中，有随孔径增大而产生的像差，光轴上物点成像时即有这种性质，故称为轴上点像差；有随孔径和视场增大而产生的像差；还有仅由视场增大而产生的像差，这些统称为轴外像差。绝大多数光学系统对白光成像，白光是由不同波长的色光组成的，而光学材料对不同波长的光线又具有不同的折射率，因此不同波长光线的成像位置和大小都是不同的。光学系统对复色光成像还存在色差。这里必须注意，光学系统的像差与光学系统的缺欠不同，后者系指组成实际光学系统的折射面(如球面)不够完善、折射率欠均匀以及共轴系统中各曲面的中心不严格地在同一直线上等等，而像差，是由实际光学系统的物理条件造成的，即使实际光学系统在材料和工艺上并无缺欠，系统仍然可能有显著的像差。

除平面反射镜外，没有像差的光学系统——理想光学系统是不存在的，所以，研究实际光学系统的像差性质和设法校正或减小像差，就成为光学应用中的重要问题。光学仪器或光学装置的结构之所以常是很复杂的，主要原因之一就是需要减小像差以提高像的清晰度。光学系统存在五种单色像差：球差、彗差、像散、场曲和畸变；两种色差：位置色差和倍率色差。并不是所有的光学系统都必须对所有的像差进行校正，而是根据使用条件提出适当的像差要求进行校正。根据使用条件，光学系统大体上分为：小视场大孔径系统，如显微物镜、望远物镜等；大视场小孔径系统，如目镜等；大视场大孔径系统，如照相物镜等。

对于小视场大孔径光学系统，由于视场小，主要考虑与孔径有关的像差：球差、正弦差和位置色差。因为所需校正像差的变数较少，所以光学系统结构也可较为简单。由于对像差要求严格，故称为小像差系统。一般用以波像差为依据的瑞利判据作为评价像质的标准。

大视场小孔径光学系统，由于相对孔径小，球差、正弦差和位置色差容易校正。因为视场大，对轴外像差，特别是倍率色差、彗差、像散和场曲的校正要符合要求。有的光学系统如长焦距制版物镜还应校正轴上点的二级光谱和轴外点的畸变，并应适当考虑光阑球差。大视场小孔径光学系统除考虑球差、位置色差等轴上点的像差以外，还要考虑全部轴外像差。这些像差不是弧立存在的，各种像差反映了一个物点通过光学系统在像平面上的弥散斑的形状和大小。各种像差都为零，在不考虑系统孔径的衍射效应时，弥散斑为零。实际上这是做不到的。一般是保留各种像差的情况下，使弥散斑尺寸最小，而且各个视场的物点所产生的弥散斑尺寸一致，就可以认为是最好的像差校正方案。由于这类系统的剩余像差较大，不宜用瑞利判据评价，故称这类系统为大像差系统。

由于现代激光技术的发展，出现了激光专用的光学系统，这些系统一般对所工作的激光谱线校正单色像差，色差往往不必考虑。由于激光的相干性很强，应使系统结构尽量简单，光学表面质量要好，光学材料中杂质和气泡要严格地控制，以免引起过强的相干噪声。计算以上各种系统的像差时，都必须通过光路计算的方法。当光学系统的像差不能令人满意时，需改变光学系统的结构参数，重新进行光路计算求像差值。修改光学系统的结构参数不应是盲目的，应基于初级像差分布或实际像差分布有的放矢地进行。为了提高设计效率，用计算机根据给定的像差要求，按一定的数学方法，编制成程序，自动地改变光学系统的结构和进行光路计算，直到达到预定的像差要求为止。这种方法即所谓的“像差自动平衡”。用人工计算像差或用计算机进行“像差自动平衡”，都必须由设计者给出一个合理的初始结构，才能得到满意的计算结果。否则，做多少次校正也难以达到设计的要求。

望远镜是最早出现的光学仪器之一，体现了像差理论的重要应用，望远镜技术的发展伴随着消像差技术的发展和人们对色差的研究。一般认为，望远镜是由荷兰眼镜商里帕席（H. Lippershey）于1608年发明的。此后，1609年意大利天文学家伽利略制成了一架望远镜，1611年德国天文学家开普勒发明了开普勒望远镜。这些都是早期的折射望远镜，由于当时消除像差的光学技术尚未发明，所以需采用很长的焦距。

望远镜

相比于折射系统，反射系统有不存在色差的优点。1663年，英国数学家格雷戈里（J. Gregory）最早设计了反射式望远镜，他的设计可以消除球差和色差，但不能消除彗差和轴外像差，因而视场较小。由于工艺水平的限制，该设计在当时未能制成实用产品，直到后来才得到广泛应用。1668年，牛顿首先成功研制了反射式望远镜，天文学中称为“牛顿望远镜”。他做了分解白光的实验，揭示了色差产生的原因，并在新原理的指导下，成功制成了反射式望远镜，使反射望远镜成为了光学望远镜的主流。1672年，法国科学家卡塞格林（G. D. Cassegrain）发明的卡塞格林望远镜和格雷戈里望远镜基本性能相似，但镜筒更短，且场曲更小。因此，卡塞格林系统被近代光学望远镜的设计所普遍采用，同时也是射电望远镜的主要形式。

反射望远镜的三种典型光路

18世纪30年代。英国数学家霍尔（C. M. Hall）发明了消色差透镜，消色差透镜用的光学玻璃也逐渐进入工业化生产。从此，大型折射望远镜作为重要观测设备进入了各国天文台。德国光学家夫琅禾费（J. Fraunhofer）等人分别于1824年和1847年制成了不同口径的消色差折射望远镜。然而，随着天文学科学技术的不断发展，折射望远镜的缺点日益突出。它无法同时对各个波长的可见光消色差，并且由于光学玻璃的性质影响，望远镜口径最大只能到1 m 左右。因此，大口径望远镜只能寄希望于反射系统，这导致反射望远镜在20世纪得到空前的发展。20世纪二三十年代，望远镜光学系统又有了许多新的设计。其中，由克列基昂（H. Chretien）提出，威尔逊山天文台的里奇成功研制的 R-C 系统望远镜类似于经典卡塞格林系统，但克服了其彗差较大的缺点。