几何光学

几何光学（geometrical optics）是以光线为基础，研究光的传播规律和成像规律的一个的分支，由于这种传播可以用很简单的几何关系来描述，所以得名几何光学。

几何光学是以光线为基础，研究光的传播规律和成像规律的一个光学分支，而这种传播可以用很简单的几何关系来描述，这就是几何光学得名的原因。在几何光学中会把物体看做由几何点组成，把它所发出的光束看做是无数几何光线的集合，光线的方向代表能量的传播方向。在此假设下研究物体被透镜或其他光学元件成像的过程，以及设计光学仪器的光学系统等方面都显得十分方便和实用。由于光线的概念与光的波动性相违背，几何光线不可能存在，所以几何光学只是波动光学的近似。但当光学元件尺寸远大于波长时，用几何光学得出的结果与实际情况非常接近，因此在这种情况下应用几何光学来研究光学系统具有足够的精度。采用几何光学的理论可以不涉及光的物理本性，而能以其简便、直观的方式解决光学仪器中的光学技术问题。

自古代，人们就开始关注一些几何光学现象。古希腊几何学家欧几里德（Euclid）和物理学家阿基米德（Archimedes）都曾对光的直射、反射现象进行过一些初步研究。古罗马时期的天文学家托勒密（Ptolemaic）也曾对光的折射现象进行过一些初步研究。古代中国战国时期的《墨经》一书中，记载了关于光的直射、反射现象的研究。此时，古代光学中对几何光学现象的研究停留在经验描述阶段。

1604年，德国天文学家开普勒（Kepler）发表了一篇几何光学论文，对光的直射现象、反射现象以及视觉现象作了一些初步的理论解释。1608年，荷兰眼镜商人汉斯·李波尔（Hans Lippershey）制造出世界上第一架双筒望远镜。随后，开普勒从革新天文望远镜的实际需要出发，对几何光学进行研究，于1611年出版了一部光学著作《折光学》，对作为望远镜制作原理的几何光学问题作了进一步的理论探讨。在这一著作中，开普勒最先提出了照度定律、焦点和光轴等最初的几何光学概念，还设计了几种新型的望远镜。

开普勒（Kepler）

1620年，荷兰物理学家和数学家斯涅尔（Snell）通过一系列的实验观测与数学分析，发现了几何光学现象的两条基本定律：反射定律与折射定律。他发现不论入射线的角度怎样改变，反射线总在入射线和法线所决定的平面内，反射线与入射线总在法线的两侧，反射角总等于入射角。随后，斯涅尔对光的折射现象进行系统的实验观测和几何分析，发现当光从一种媒质进入另一种媒质时，光在两种媒质的交界面上改变原来的传播方向而发生折射，不论入射线的角度怎样改变，折射线总在入射线与法线所决定的平面内，折射线与入射线总是分居在法线的两侧。对于两种给定的媒质来说，入射角的正弦与折射角的正弦的比，总是一个常数。光的反射定律与折射定律的发现，奠定了近代几何光学的初步基础。

斯涅尔（Snell）

1650年，法国数学家费马（Fermat）提出费马原理，对几何光学的传播定律进行总结概括，形成了费马原理。费马原理是对几何光学各经验定律的高度综合与抽象，是光在介质中传播的普遍规律。

费马（Fermat）

19世纪以来，以几何光学为代表的成像理论快速发展，以阿贝（Abbe）为代表的一批科学家在研究显微镜成像的过程中，系统地建立了光学成像设计方法。各种常规的光学仪器与系统，如成像系统的显微镜、望远镜、相机等以几何光学为主的仪器得到应用。19世纪末到20世纪初，光学的研究深入到光的发生、光和物质相互作用的微观机制中，由于几何光学不能解释光的干涉、衍射等现象，进而发展出波动光学、量子光学等分支。从 20 世纪中叶起，随着新技术的出现，新的光学理论也不断发展，形成了更多新的分支学科与交叉学科方向，人们对光的本质的理解也越深。这期间，虽然几何光学只是波动光学的近似，波动光学比几何光学更涉及光的本性，但几何光学在设计光学仪器等方面依旧不可替代。

物理学认为，凡是能够辐射光能的物体统称为发光体。一切自身发光（如恒星、灯等）或受到光照射而发光的物体均可视为发光体。太阳、行星等自然界中存在的光源为自然发光体，白炽灯、氢灯等人为地将各种形式的能量转换成光辐射的器件为人造发光体。一个实际的光源总有一定的大小，当光源的大小和其辐射能的作用距离相比可忽略不计时，此发光体可视为发光点，宇宙中的恒星对于地球上的观察者来说就是一个发光点。在几何光学中，发光点被认为是一个既无体积又无大小，但是能量密度为无限大的几何点。

白炽灯

有一定关系的一些光线的集合，称为光束。各光线本身或其延长线交于同一点的光束，称为同心光束。而不交于一点的有一定关系的一些光线的集合，称为像散光束。各种光学成像系统，应该按照需要在改变光束的立体角的同时，保持光束的同心性。

光束

光是一种具有波粒二象性的物质，即光既具有波动性又具有粒子性，只是在一定的条件下，某一种性质显得更为突出。除了研究光和物质相互作用的情况下必须考虑光的粒子性外，都可以把光作为电磁波看待，故而称之为光波。光波是一定波长范围内的电磁波，在整个电磁波谱中，能引起人眼视觉刺激的部分被称为可见光，通常可见光的范围取为

。波长大于

的光被称为红外光（IR），波长小于

的光被称为紫外光（UV）。

可见光谱颜色、波长及频率范围。

由光源发出的电磁波可看做以波面的形式传播，在某一瞬时，其振动相位相同的各点所构成的曲面称为波面，也叫等相位面。波面按形状可分为球面、平面和任意曲面。若光所处的介质为各向同性的均匀介质，电磁波面向各方向的传播速度相同，则有限远处发光点发出的是以发光点为中心的同心球面，称为球面波，无限远处发光点发出的是平面波。对于具有一定大小的实际发光体，当光的传播距离比光源线度大得多的情况下，它所发出的光波也可近似视为球面波。

波面

发光体向周围发出的带有辐射能量的几何线条称为光线。几何光学中认为光线是没有直径、没有体积，但携带能量并具有方向性的几何线，其方向代表光能的传播方向。在绘图时，光的传播方向可以用一个箭头来加以表示，这条带箭头的直线代表一条光线。几何光学通过引入发光点和光线的概念将复杂的光学成像和光能传播问题归结为光线的传播问题，从而用数学方法来描述和解决光学问题。同时，光在一定时间内在介质中所走过的几何路程被称为光程，又被称为光的折合路程。

光程

折射率表示光在介质中传播时介质对光的一种特性，它与介质的电磁性质相关。折射率分为绝对折射率和相对折射率。绝对折射率表示光从真空射入其他介质时的折射情况，用光线入射角与折射角的正弦之比来表示。相对折射率用表示光从一种介质射入另外一种介质时的折射情况，用第二种介质相对于第一种介质的折射率之比来表示。

光的折射

几何光学的基本定律决定了光线在通常情况下的传播方式，它是研究光学系统成像规律及进行光学系统设计的理论依据。光的传播规律可以归纳为四条基本定律，即光的直线传播定律、光的独立传播定律、光的反射定律和光的折射定律。

在各向同性的均匀介质中光沿着直线传播，就是光的直线传播定律，影子的形成、日食、小孔成像等现象均基于此定律，一切精密天文测量、大地测量和其他测量均以此为基础。需要注意，光的直线传播定律忽略了电磁波的衍射，光在传播过程中遇到小孔、狭缝等阻挡物体时，会因衍射现象而偏离直线传播。在非均匀介质中，光也会偏离直线传播。

光的直线传播定律

针孔相机是典型的光沿直线传播的实例。针孔以物理的方法约束了发自物点的光线，使通过小孔的光线落在同一个像点附近而成像。针孔尺寸越大，其约束光线的能力越差，成像的效果越差，最终经小孔所成的影像将完全消失，仅剩一个被照亮了的屏幕。反之，针孔的尺寸越小，波动光学中的衍射效应越强，当针孔尺寸小到与光波长量级相当时，衍射效应会导致成像的质量下降。

小孔成像原理

从不同光源发出的互相独立的光束（线），从不同方向相交于空间介质中的某一点时，彼此互不影响，各光束（线）独立传播，就是光的独立传播定律。例如，利用几个探照灯在夜空中搜寻，交会飞机等行为都基于光的独立传播定律。光的独立传播定律的意义在于考虑某一光束（光线）的传播时，可不考虑其它光束（光线）对它的影响，从而使对光线传播情况的研究得到简化。光的独立传播定律仅对于不同光源发出的光有效。如果由同一光源分成的两束光，经过不同的路径相交于某点，这两束光在满足一定条件时可能会成为相干光而发生干涉现象，此时光的独立传播定律不适用。

当一束光（入射光）投射到两种均匀透明介质的光滑分界面上时，将有一部分光（光能）被反射回原来的介质中去，这种现象称为“反射”，这部分光称为“反射光”。反射定律是指，当入射光投射到两种均匀介质的光滑分界表面上时，入射光线、反射光线和投射点法线三者在同一平面内，入射光线与反射光线分居法线的两侧，且入射角和反射角绝对值相等，符号相反，其数学表达式为：

当两种不同介质的分界面粗糙时，其表面各点处的法线方向不一致，会导致平行入射的光线朝不同的方向反射，反射光不再是平行光束，这种现象被称为漫反射现象（或漫射现象）。大部分物体，如植物、衣服等，其表面粗略观察是光滑的，但放大之后依然是粗糙的，这种表面会发生漫反射现象。

光的反射定律

当一束光（入射光）投射到两种均匀透明介质的光滑分界面上时，有一部分光能通过分界面进入到第二介质中，并改变传播方向，这种现象称为“折射”，这部分光称为“折射光”。折射定律是指，入射光线、折射光线和投射点法线三者在同一平面内，入射角

的正弦与折射角

的正弦之比与入射角的大小无关，仅由两介质的性质决定。在一定的温度和压力下，对一定波长的光线而言，该比值为一常数，称为后一介质的折射率

与前一介质的折射率

之比，其数学表达式为：

或

式中，

分别为入射光所在介质和折射光所在介质的绝对折射率，

为相对介质折射率。当前一种介质为空气（或真空）时，相对介质折射率等于第二种介质折射率。折射定律不仅适用于均匀介质，也适用于非均匀介质。当光在非均匀介质中传播时，可以把非均匀介质近似看做由无限多的均匀薄介质组成，在每一层薄介质中折射定律仍然适用。把光线在非均匀介质中的传播近似看做一个连续折射的过程，就能够分析出光线传播的具体轨迹路径。

光通过多层平行平板的折射传播现象

根据几何光学的基本定律，可以得出光线传播的可逆性特征，即光线逆着原来的方向传播时，它将按照完全相同的路径反向行进。

光路可逆

全反射又被称完全内反射，它是指光从光密介质入射到光疏介质，且入射光的入射角大于临界角时，两种介质光滑的分界面把入射光全部反射回原介质中的现象。一般把分界面两边折射率相对较大的介质称为光密介质，折射率较小的介质称为光疏介质，光密介质或光疏介质是相对而言的。当光线以一定的角度入射到光密—光疏介质分界面上时，按照折射定律折射角将大于入射角，并且随着入射角的逐渐增大，折射角也逐渐大。

临界角与全反射

法国数学家费马利用光程的概念对几何光学的传播定律进行总结概括，形成了统一的定律，即费马原理。费马原理提供了一种有效的确定光线路径的方法，它既适用于均匀介质，也适用于非均匀介质，也可利用费马原理证明反射定律和折射定律。设光在介质走过的其他路径与实际路径是非常接近的，其他路径是指当光线遇到折射面或反射面时能够与实际路径分离开来的路径。如下图所示，假设

是光线的实际路径，现在其附近任取一其他路径

，两者之间的距离处处小于某个无穷小量。在此前提下，费马原理是指光从一点

传播到另外一点

，无论经过多少种介质，走过什么样的路径，其光程皆是稳定的，其数学表达式为

。它表示，在光线的实际路径上光程的变分为零。对于某条给定的路径，变分为零意味着泛函在路径上是平稳的，它可以是极大值也可以是极小值，或者是具有更高阶的平稳值。费马认为一般情况下光在介质中传播时所需要的时间应该是一个极小值，即光线在介质中走的是捷径。通过费马原理可以确定出光在介质中走过的实际路径。

光在介质中走过的路径

光学系统多用于对物体成像，但未经严格设计的光学系统只有在近轴区才能成完善像。由于在近轴区成像的范围和光束宽度均趋于无限小，所以没有实际应用意义。为了估计和比较实际光学系统成像质量是否符合完善成像条件，需要建立一个模型，使之满足物空间的同心光束经系统后仍为同心光束，这个模型称为理想光学系统，它对任意大的物体以任意宽的光束成像都是完善的。1841年，德国数学家高斯（Gaussian）提出理想光学系统理论，1893年，德国物理学家阿贝（Abbe）将其进一步发展，所以后来理想光学系统理论又称为“高斯光学”。高斯光学就是只讨论近轴光线条件下成象的几何光学。因其在计算理想光学系统各个参量之间的关系时常用一阶线性方程，也称为“一阶光学”。

高斯（Gaussian）

高斯光学为将成像理解为从物空间到像空间的映射，它假定光学系统轴对称，包括沿光轴对称，同时假定子午面为

平面。几何光学的基本原理在高斯光学中依然成立，即任何三维物镜由独立辐射点源的集合表示，每个点源通过系统独立地成像到其共轭像点，三维像是所有点像的加。高斯光学也认为，一个空间里垂直于光轴的平面映射到另一个空间也是垂直于光轴的平面，一个空间里平行于光轴的光线映射到另一个空间里的共轭光线可与光轴交于点（有焦系统）也可平行于光轴（无焦系统）。

大气光学（atmospheric optics）是研究光通过大气时的相互作用和由此产生的各种低层大气的光学现象的一门学科，其中包括研究电磁波在介质中传播时速度随介质密度改变，而发生的反射和折射等现象，也包括大气中粒子对电磁波的吸收、散射和偏振等所引起的光学现象。在研究散射时，需要根据粒子尺度与入射光波长的相对大小采用不同的计算方法。当粒子尺度比入射光波长小得多时，采用瑞利散射公式来处理；当粒子尺度与入射光波长可比拟时，采用米散射公式来处理；当粒子尺度比入射光波长大得多时，则需要按照几何光学来处理。大气光学被应用在环境科学、天气预报、遥感等许多方面。比如，通过对大气气溶胶的光学厚度进行观测实验，实现对区域内的大气污染情况进行监测。通过收集大气光学数据，进行天气预报。通过对大气光学特性进行检测，进而设计出符合实际场景的遥感通信设备。

光学遥感卫星

以光的波动性质为基础的光学称为波动光学，其主要研究光的干涉，衍射和偏振等波动现象。而几何光学撇开了光的波动本性，仅以光的直线传播性质为基础，研究光在透明介质中的传播问题，所以几何光学只是波动光学的近似情况。波动光学比几何光学更涉及光的本性，能解释光在各向同性均匀介质中的直线传播等光学现象。其主要应用在生产、科研、药学、医学检测等领域。例如，利用衍射现象探测微观结构，发现了DNA双螺旋结构，利用干涉现象发明的激光干涉仪可以精密检测位移。

红色激光通过圆孔后产生衍射

量子光学是研究光场的相干性、量子统计性质，以及基于量子理论框架的光与物质的相互作用的学科。它能定量描述光的发射和接收的微观机理，反映光的波粒二象性本质，处理光子纠缠和非局域性问题。量子光学涌盖了几何光学、波动光学和电磁光学的全部理论，能够解释已知的全部光学现象。其主要应用在量子力学研究中，例如量子态重构、量子非破坏性测量、量子力学基本原理的量子光学方法检验等。

原子-腔耦合体系示意图

显微镜、望远镜、棱镜、透镜等光学仪器均是利用几何光学知识设计制造的仪器。以折射望远镜中的开普勒望远镜为例，其结构中的透镜运用了光的折射原理，其物镜和目镜都是凸透镜。远处的物体发出的光线通过物镜折射到镜筒内，再通过目镜折射后成像在无穷远处，使人眼可以在放松状态下观察所成像。广义上的望远镜可以使人们可以观察、瞄准、测量远处的物体，甚至可以观测人眼看不见的电磁波。多运用于地面观测、天文观测、天文摄影、太空探测等领域。

开普勒望远镜光学原理示意图

利用几何光学原理制造的光纤是一种导光、导像和成像的元件，被应用在国防、通信等领域。光纤由两层圆柱状媒质组成，内层为纤芯，外层为包层，纤芯的折射率要稍大于包层的折射率。光线从光纤的一端以一定的角度射入光纤纤芯之中，在纤芯与包层的介质分界面上发生反射，再传播到另一侧分界面。光线在光纤内连续发生反射，直到光线从光纤的另一侧射出。光纤的孔径越大，其能接收的光能就越多。将信息以一定的规律编码成光线的状态，就可以经过光纤高速传播，在光纤的另一端再将光线转换为信息，实现通信。

光纤通信原理

利用几何光学原理制成的医用内窥镜在食道、胃和十二指肠的检查中应用广泛。

医用内窥镜原理

被观察物体AB发出的光经过直角屋脊棱镜时发生全发射，光线在物镜中再次发生折射，然后进入传像纤维管。光线在传像纤维管连续发生反射，以与进入传像纤维管的光线相平行的方向射出传像纤维管，进入到目镜当中，被观察者观察到，医生便可以根据观察到的真实影响对患者进行诊断。