几何学

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几何学(英文名:Geometry),主要用来研究空间物体的形状、大小和相互关系,是一门偏重于推理和论证的高度理论化学科,是数学中一门极为重要的分支学科。 几何学,是研究空间物体的形状、大小和相互关系的一门基础学科,在方法论上是一门高度理论化的学科,偏重于推理和论证。在数学各分支学科的形成上,欧几里得《几何原本》是最先形成的数学科学体系,解析几何和非欧几何的产生,是数学思想上的重大突破和革命,前者导...

几何学(英文名:Geometry),主要用来研究空间物体的形状、大小和相互关系,是一门偏重于推理和论证的高度理论化学科,是数学中一门极为重要的分支学科。

定义

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几何学,是研究空间物体的形状、大小和相互关系的一门基础学科,在方法论上是一门高度理论化的学科,偏重于推理和论证。在数学各分支学科的形成上,欧几里得《几何原本》是最先形成的数学科学体系,解析几何和非欧几何的产生,是数学思想上的重大突破和革命,前者导致常量数学到变量数学的转变,后者导致向空间多样性的转变;在科学方法论的创建上,公理化方法的产生,坐标方法的产生,都是从几何学开始的,因此几何学是数学领域里一门极为重要的学科。

名称由来

“几何学”一词,拉丁文是geometria,英文名为“Geometry”,希腊文

,是由

(土地)和

(测量)二字合成,原义是土地测量的意思。几何学的产生与土地测量有关。中文里的几何学一词是由中国明朝的数学家徐光启(公元1562~1633年)翻译欧几里得名著《几何原本》时翻译得来。

研究对象

几何学的研究对象是研究物体的形状、大小和位置关系,只研究物体的形状、大小和位置关系,而不考虑物体的其他性质。点、线、面或若干个点、线、面组合在一起,就形成了几何图形。

恩格斯认为几何学的对象侧重研究现实物质世界的空间形式,而算术、代数和函数等侧重研究现实物质世界的数量关系,恩格斯的论断表明几何学的对象主要是研究现实世界的空间形式,几何对象来源于客观世界,几何对象是抽象化和理想化的概念。

分类

平面几何

平面几何是研究平面上的图形和性质的,是欧几里得平面几何的基础部分,通常称具有这些性质的这个平面为欧几里得平面,或欧几里得二维空间,它就是解释平面的一个数学模型。在这个平面上,平行线的理论满足欧几里得平行公理:“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”,根据这条公理可以推出“三角形的内角和等于二直角”等。罗巴切夫斯基平面几何和黎曼平面几何,也都是研究平面上图形性质的几何学,所研究的这个平面,前者称为罗巴切夫斯基平面,后者称为黎曼平面,它们也都是解释平面的不同数学模型。但是,在罗氏平面上,平行线的理论满足罗氏平行公理:“过直线外任一点至少存在两条直线与已知直线不相交”,根据这条公理可以推出“三角形的内角和小于二直角”,在黎氏平面上不存在“不相交的两条直线”,即满足黎氏平行公理:“过直线外任一点不存在直线与已知直线不相交”,根据这条公理可以推出“三角形的内角和大于二直角”。

立体几何

立体几何是研究空间图形大小、形状和相互位置关系等几何性质的科学,主要介绍空间几何学的一些基本概念以及几何形体之间的关系,着重讨论了空间直线和平面的位置关系、空间立体的体积、表面积的计算公式。立体几何是三维欧氏空间的几何学的传统名称,又称空间几何学,即初等几何学的空间部分。立体几何是建立在欧几里得公理体系基础上的三维欧氏空间几何学,故又称为三维欧几里得几何,简称三维欧氏几何。

基本概念

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图形

欧几里得定义点为没有可以分割的部分。以及通过使用代数或嵌套的集合。在几何学中,用“点”来标记一个位置,点就是位置的抽象化。抽象地来说,就是一个“动点”从一个点的位置移动到另一个点的位置。

  • 线

欧几里得将线定义为只有长度没有宽度。几何学中用“线段”表示动点所经过的路径,且最短路径唯一存在,把线段的一段无限延伸,可以得到一条射线,射线只有一个端点。各线段中以直线段最简单也最基本,直线没有端点,可以向两端无限延伸。相异两点定一直线,相反,相交两直线定一点。

几何学

相交两直线

欧几里得认为面只有长度和宽度,面的边缘是线。在各种“面”中,以平面为最简单、最常用,平面就是一个到处平直而且可以向四方无限延伸的面。它的特性是:对于面上任给相异两点

,其所决定的直线

完全包含在这个面之内。主要推论:不共线三点定一平面;一直线及线外一点决定一平面;相交两直线决定一平面。

由一点出发的两个射线所构成的图形叫做角。平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度。两条射线的公共端点叫做角的顶点,组成角的射线叫做角的边。

几何学

两个射线所构成的角

  • 平行

在平面上不相交的两条直线叫做平行线。用符号“

”表示,若直线

平行于直线

,则记作

几何学

平行线

在几何学中,体是几何体的简称,比如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。

几何学

长方体

  • 曲线

如果点集

是由开的直线段上的点所组成,它到

内的点集

建立的对应

是一个拓扑映射,则称B为简单曲线段。即简单曲线段是开的直线段在

中的同胚象。直观地说,对直线段进行不粘连、不断裂的任意弯曲变形后,就得到一条简单曲线段。例如圆弧、圆柱螺线等。

几何学

罗巴切夫斯基曲线

  • 流形

流形是局部具有欧氏空间性质的拓扑空间,粗略地说,流形上每一点的附近和欧氏空间的一个开集是同胚的,流形正是一块块欧氏空间粘起来的结果。流形具有整体上的柔性和可流动性。如果流形上每两个点之间可以连续地过渡,那么称为连续流形。而如果流形由离散的点组成,则称为离散流形。

几何学

黎曼流形示例图

测量

  • 长度的度量

长度是一维空间的度量,是国际单位制中的七个基本物理量的量纲之一,一般用符号

表示。通常在量度二维空间中量度直线边长时,称长度数值较大的为长,不比它的值大或者在“侧边”的为宽。所以宽度其实也是长度量度的一种,所以在三维空间中量度“垂直长度”的高。测量工作的法定长度计量单位为米制单位,具体换算如下:1米=10分米=100厘米=1000毫米;1百米=100米;1千米=1000米。

  • 面积的度量

面积是指平面上一个封闭图形所包围的平面部分(区域)的大小。取定一个平面图形

(一般取边长等于长度单位的正方形)作为计算面积的单位,叫做面积单位。将平面封闭图形包围的区域所含有面积单位的数量,叫做该图形的面积,一般用符号

表示。比如平行四边形的面积以底和高的乘积作为度量;三角形的面积以底高乘积的一半作为度量;梯形的面积以两底之和的一半与高的乘积作为度量。

  • 体积的测量

体积是指物体所占空间的大小,一般用符号

表示。计量体积的常用单位有立方厘米、立方分米和立方米。为了唯一地度量体积,取棱长等于单位长的立方体作为体积单位(与它所对应的数是1),于是任何体积的度量数,就是该体积与单位体积的比值。

性质

  • 全等

在几何学中,如果两个形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合,则把这两个图形叫做全等形(congruent figures)。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形判定定理:两边和夹角对应相筹的两个三角形全等。设有三角形

和三角形

,如果

的长度等于

的长度,

的长度等于

的长度,

,则这两个三角形全等。

  • 相似

在几何学中,把形状相同的图形叫做相似形(similar figures),两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形(similar polygons)。相似多边形对应边的比叫做相似比(similarity ratio)。在相似多边形中,最简单的就是相似三角形(similar triangles)。相似三角形判定定理:两对对应边成比例,且夹角相等的两个三角形相似。在两个三角形

中,如果

的长度比和

的长度比相等,而且

相等,则已知两个三角形相似。

  • 轴对称

如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形(axi-symmetric figure),这条直线就是它的对称轴(axis of symmetry)。此时这个图形关于这条直线(成轴)对称;把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点(symmetric points)。

  • 中心对称

把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称(central symmetry),这个点叫做对称中心(简称中心)。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。

简史

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古代时期

几何学是在人类生活和生产实践中产生和发展起来的,有着古老文化的中国、埃及、巴比伦以及印度等文明古国都是几何学的重要发源地。古埃及人最早把数学资料写在草片上(公元前1700年),记载着一些数学问题和他们的解答。古代巴比伦人则把数学资料刻在印泥板上,后来的泥板表明,巴比伦天文学家实施了梯形程序来计算木星在时间速度内的位置和运动空间。这些几何程序将牛津计算器(包括平均速度定理)提前了14个世纪。在中国,从出土的文物中可以看到,当人类进入石器时代,从打猎、捕鱼和采集食物当中,就初步认识了一些简单的几何图形。

几何学概念的形成

在人类生活和从事生产的各种实践活动中,通过接触自然界一些物体的形状、大小和位置关系,经过人类的思考、抽象逐步形成了形体的观念。古埃及人为了治理尼罗河定期泛滥情况,促进古代埃及几何学——测地术的诞生。在埃及南部,古代努比亚人建立了一个几何系统,包括早期版本的太阳钟。古埃及“兰德”纸草书(Rhind papyri)是尚存的最古老的数学文献,载有85个数学问题,其中26个是关于几何学的;印度几何学最早记录于《绳法经》(Sulba sutras),记载了各种祭坛的结构和测量准则。《绳法经》之后,印度算家之第一人当推阿耶波多(Aryabhata,公元前476年~?),他的著作《阿耶波多文集》中涉及到的几何知识有勾股定理、三角形的面积、圆的面积等。继阿耶波多之后的印度另一位数学家兼天文学家婆罗摩笈多(Brahmagupta,公元598~665年以后),他在公元628年完成了《婆罗摩修正体系》,婆罗摩笈多在几何方面的杰出成果是获得了四边形的面积公式;在中国,几何萌芽于旧石器时代。在公元前6000年左右,中国祖先就已经会制造许多几何形状的彩陶器了。随着农牧业、手工业、土木建筑等的出现和发展,人们为了解决生产中遇到的测量、制图、几何计算、天文等实际问题,开始探讨各种几何图形的性质和相互联系,概括出某些几何规律,逐步积累了更多的几何知识,并在很早就发现了重要的直角三角形勾股定理和简易测量的知识。

欧几里得几何

在几何学的早期发展中,希腊人吸收了埃及的文化并加以发展,他们把从古埃及和古巴比伦得来的经验知识加以思考、整理使其理论化,而且把理论知识应用于实际。在这方面做出重要贡献的是世界上最早的数学家塔利斯(Thales,前624~前546年),他被人们推崇他为古希腊七贤之首,在历史上人们称他为“科学之祖”。他在研究对顶角、三角形全等和相似及其应用等方面做出了重要贡献。著名哲学家和数学家毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580~前568年生,公元前501~前500卒)在数学方面的主要成就是毕达哥拉斯定理,中国称为勾股定理,也称商高定理。此后,数学家欧几里得(Euelid,约公元前330~前275年)系统地总结前人工作,写出了伟大的著作《几何原本》(Elements),定义了最原始的点、线、面,并且提出了5条公理和5条公设。

欧几里得之后的平面几何学

在欧几里得之后,公元前2世纪,古希腊数学、力学家阿基米德(Archimedes,公元前287~前212年)证明了圆面积等于以半圆周为长边,以半径为短边的长方形的面积;给出了圆周率

的界:

,以及正圆柱、圆锥表面与球面积的计算公式等。与阿基米德几乎同一时期的古希腊数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius,公元前262~前190年)系统地研究了圆锥曲线的性质,他还证明了:平面上给定两点

,以及常数

,使

的动点

的轨迹是圆

,其中的圆即是阿波罗尼奥斯圆。公元1世纪,古希腊数学家梅涅劳斯(D.Menelaus,公元1世纪)证明了,分别在

的三边

上的点

共线的充要条件是

。这就是梅涅劳斯定理。之后,古希腊数学家托勒密(C.Ptolemy,约公元100~170年)证明了下面的托勒密定理:凸四边形内接于圆的充要条件是,它的对角线乘积之和等于对边乘积之和,古希腊数学家海伦曾经评注过欧几里得的《几何原本》,增补了一些新定理,包括他本人给出的正多边形面积公式,圆台、棱台、截球体和正多面体等的体积公式,以及阿基米德所发现的海伦公式。到公元3世纪,古希腊数学的黄金时代已成过去,这时期的古希腊数学家主要工作是搜集、整理和评注欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯等人的著作。

几何学

欧几里得

近代时期

推动几何学第二个重要的、历史性发展的人是笛卡儿(Descarte,1596~1650年)。他是法国哲学家,不是专门研究数学的。他用坐标的方法,把几何学变成了代数。在此期间,欧几里得的第5公设(平行公设)存在一定问题,人们对“第五公设”整整研究了两千多年,最终非欧几何的发现不仅解决了平行公设的问题,而且把几何学从其传统模型中解放出来,创造了许多不同体系的几何学道路。非欧几何的发现具有较大的社会意义,因为它表示空间不一定只有一个。一个空间可以有好几种坐标,怎样描述空间,空间有什么样的几何学性质,针对这一问题高斯与黎曼建立和发展了这方面的理论。他们把坐标一般化,使坐标不一定有意义,即空间的个数是无穷的,有很多很多不同的空间。

射影几何

射影几何学是一门讨论在把点射影到直线或平面上的时候,图形的不变性质的一门几何学。射影几何是迪沙格和帕斯卡在1639年开辟的,最终由彭赛勒的研究使得射影几何真正独立。1822年,他发表了《论图形的射影性质》一文。后来,他的许多概念被斯坦纳进一步发展。1847年,斯陶特发表了《位置几何学》一书,使射影几何最终从测量基础中解脱出来。射影几何学在航空、摄影和测量等方面都有广泛的应用。18世纪后期,蒙日提出了二维平面上的适当投影表达三维对象的方法,因而从提供的数据能快速算出炮兵阵地的位置,避开了冗长的、麻烦的算术运算。后来研究证明,采用度量适当的射影定义,能在射影几何的范围内研究度量几何学。将一个不变二次曲线添加到平面上的射影几何中,就能得到传统的非欧几何学。在19世纪晚期和20世纪初期,对射影几何学作了多种公设处理,并且有限射影几何学也被发现。事实证明,逐渐地增添和改变公设,就能从射影几何过渡到欧几里得几何,其间经历了许多其它重要的几何学。

解析几何

在迪沙格和帕斯卡开辟了射影几何的同时,笛卡儿和费尔马开始构思解析几何的概念。这两项研究之间存在一个根本区别:前者是几何学的一个分支,后者是几何学的一种方法。塔比特·伊本·古拉(Thābitibn Qurra,公元836~901年)处理了应用于几何数量比率的算术运算,并为解析几何的发展做出了贡献。奥马尔·海亚姆(Omar Khayyám,1048~1131年)发现了三次方程的几何解。1637年,笛卡尔(Descarte,1596~1650年)出版《几何》一书,发明了笛卡尔坐标系,创立了解析几何。《几何》通过使用代数方法解决几何问题,重点讨论了冠以古希腊数学家帕普斯(Pappus of Alexandria,公元前290年~公元前350年)名字的帕普斯问题。在解析几何出现之前,几何和代数是分开的,几何的问题只能通过几何的方法解决,代数的问题也只能通过代数的方法解决。

解析几何的基本思想是用代数法研究几何性质,把形和数完全融合为一体,用有序的实数组表示点,用方程表示直线,平面或其他曲线和曲面。十六世纪末,维特(Viete)所著的“代数学”启发了笛卡尔(Descarte,1596~1650年)和费马(Fermat,1601~1655年),使他们想到可以用新兴的代数学作为研究几何学的有力工具,解析几何的产生不但为空间的研究开辟了新的途径,而且把整个几何学的研究从原先“定性的层面”推进到能进行有效计算的“定量的层面”。费马和笛卡尔研究解析几何的方法不同,费马是从方程出发来研究它的轨迹,而笛卡尔是从轨迹出发建立它的方程,这是解析几何中一个问题的正反两个方面的提法,这两种提法各有侧重,费马是从代数到几何学,而笛卡尔是从几何学到代数。解析几何的产生,对数学产生深远的影响,并为牛顿、莱布尼兹发现微积分开辟了道路,为数学分析的出现提供了基础。

几何学

笛卡儿

非欧几何

非欧几何有三种不同的含义:狭义的,单指罗氏(罗巴切夫斯基)几何学;广义的,泛指一切和欧氏(欧几里得)几何不同的几何学;通常意义的,指罗氏几何和黎曼几何。欧几里得的第5公设(平行公设)在数学史上占有特殊的地位,它与前4条公设相比,性质显得太复杂了。为了寻求真理,许多数学家对平行公理进行了长期艰苦的工作。最终非欧几何的发现不仅解决了平行公设的问题——平行公设被证明是独立于欧氏几何的其它公设的,而且把几何学从其传统模型中解放出来,创造了许多不同体系的几何学道路。

  • 罗氏几何

罗巴切夫斯基(JIoóayeBKй,1792~1856年)认识到欧几里得平行公理是建立欧氏几何所必需的,如果采用一个与此相矛盾的命题从一组新公理来推导结论,便产生了新的几何学——罗氏几何。以罗巴切夫斯基的观点为例,在所有不用欧氏平行公理的地方证明与欧氏几何相同的结果,而涉及第五公设时,他假设过直线外一点至少可作两条直线与已知直线不相交,都是该直线的平行线,继而推导出一整套的与欧氏几何平行的理论体系,并且在物理学中得到应用。罗氏几何的发现是19世纪关于数学本质认识上的最大进展。它的直接结果使欧氏平行公理对其他公理是独立的。罗巴切夫斯基为非欧几何的生存和发展奋斗了三十多年,为了扩大非欧几何的影响,争取早日取得学术界的承认,除了用俄文外,他还用法文、德文发表了自己的著作,同时还精心设计了检验大尺度空间几何学特性的天文观测方案。不仅如此,他还发展了非欧几何的解析和微分部分,使之成为一个完整的、有系统的理论体系。罗氏几何的发现,打破了欧氏几何一统空间的观念,促进了人类对几何学广阔领域的进一步探索。

几何学

罗巴切夫斯基

  • 黎曼几何

非欧几何除了罗氏几何还有黎曼几何,黎曼几何是德国数学家黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann,1826~1866)在继承和发展高斯的内蕴几何思想的同时,把几何学的对象从一维、二维推向高维,引入了流形的概念,并利用高斯曲率定义了黎曼曲率张量,由此创立了黎曼几何。内蕴几何最早由高斯提出,并给出若干内蕴研究方式的案例,使得更多的微分几何问题的解决成为可能。高斯形成内蕴几何思想并认识到内蕴思想重要性的关键,在于一个被他称为绝妙的定理:“如果一个曲面可以展到另一个曲面,对应点的曲率保持不变。”即总曲率是内蕴的。1854年,黎曼在就职讲师的演讲中,提出了另一种不同于欧几里得、也不同于罗巴切夫斯基的新几何学,首次提出流形的概念,在流形上定义度量、曲率,通过引入这些新概念,解决空间本质和几何学建构的基本问题。黎曼认为,平行是不存在的,即“在一个平面上过直线外一点的所有直线,都与这一直线相交。”黎曼用上述命题作为公理,替代欧几里得的平行公理,并由此推出了“三角形内角和大于180°”的结论。黎曼不但将内蕴微分几何学推广至高维,而且转变了内蕴微分几何学的研究对象,使得不依赖于欧氏空间背景的流形成为研究对象。

几何学

黎曼

  • 后续学者的研究

就在黎曼逝世的第三个年头,罗巴切夫期基逝世的第十二个年头,1868年,意大利数学家贝尔特拉米(Beltrami,1935~1900年)发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》,证明非欧几何可以在欧氏空间的曲面上实现,这就是说,非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧氏几何命题,如果欧氏几何没有矛盾,非欧几何也就自然没有矛盾。同时,他还给出了非欧几何在欧氏空间的曲面上的实际解析。例如,把黎曼几何看成类似于球面上的几何学等。两年后,德国数学家克莱因(Klein,1849~1925年)也给出了另一种实际解析,他把欧氏几何称为“抛物几何”,因为它的直线有一个无穷远点;而罗氏几何称为“双曲几何”,因为它的直线有两个无穷远点;黎曼几何则称为“椭圆几何”,它的直线没有无穷远点。经贝尔特拉米和克莱因两人的解析,非欧几何终于得到了人们的认可。罗巴切夫斯基和黎曼的独创性研究也由此得到学术界的高度评价和一致赞美,这时的罗巴切夫斯基则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

现代时期

拓扑学

拓扑学(Topology)原名叫做位置分析(Analysis situs),是研究图形(或集合)在连续变形下还能保持不变的一些整体性质的一门学科。在拓扑学中人们只关心对象间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。拓扑学可分为一般(点集)拓扑学、组合拓扑学(代数拓扑)和微分拓扑学。拓扑学最早可以追溯到两千多年前欧几里得(Euclid,约公元前330~公元前275年)所建立的欧氏几何学,当时的Klein最先定义拓扑学为空间(在Klein那里意味着欧氏空间)的从属于最一般的一对一连续变换群的几何学。即

维实数空间

的一对一连续变换称

的拓扑变换,简写为

。后来经过法国数学家H.庞伽莱(H.Ponicaré,1854~1912年)工作的研究,拓扑学逐渐成为比较成熟的数学分支和活跃的研究方向。中文“拓扑学”一词最早由陈省身根据英文Topology音译而来。主要研究几何学图形或空间在连续变换形状后保持不变的一些性质,这些性质通常称为拓扑性质。

计算几何学

计算几何学于20世纪70年代末从算法设计与分析中分化而来,既是一门数学,又是计算机理论,已在计算机领域被广泛认同的新型学科。主要研究几何学模型和数据处理的相关问题,探讨几何学形体的计算机表示,并分析和设计,如何灵活、有效地建立几何学形体的数学模型以及在计算机中更好地存储和管理这些模型数据。在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多工程与数学领域有着十分重要的应用。

凸几何学

凸几何学(Convex Geometry)是19世纪下半叶萌芽、20世纪初形成、20世纪中后期蓬勃发展起来的一门现代几何学科。凸几何学的核心内容为Brunn-Minkowski理论,主要发端于经典的等周问题。19世纪末期,H.Minkowski证明了下面的著名不等式:

等号成立当且仅当

同位相似。这里

表示

维欧氏空间

中的凸体(即

中有非空内点的紧致凸集),

表示

上的Lebesgue测度,+表示Minkowski加法。上面的不等式被称为Brunn-Minkowski不等式,其三维情形最早由H.Brunn在19世纪中后期给出。

20世纪初,凸几何学繁荣发展。A.D.Aleksandrov、W.Fenchel、B.Jessen等数学家的工作使得凸几何学得到了进一步的发展。他们提出了混合面积测度的概念,讨论了凸体的投影理论和均质积分,得到了另一个有着基本重要性的不等式一Aleksandrov-Fenchel不等式。A.D.Aleksandrov还将凸几何学理论应用到了椭圆型偏微分方程的研究当中;W.Blaschke和他领导的积分几何学派主要讨论了二维和三维的凸几何学,定义了凸体的Blaschke和等重要的几何学概念,建立了著名的Blaschke-Santalo不等式。中国数学家陈省身、大任在这一时期也对凸几何学做出了重要的贡献。

进入20世纪90年代,R.J.Gardner、G.Y.Zhang、A.Koldobsky、K.Ball、A.A.Giannopoulos等数学家对于Busemann-Petty截面问题的研究使得整个凸几何学理论的发展达到高潮。比如E.Lutwak,D.Yang和张高勇(G.Zhang)等人在凸几何学与传统的信息论之间建立了联系,通过R.J.Gardner和A.Vassallo等人的工作,使得凸几何学在体视学(stereology)与机器人学中的几何学探索(geometric probing)等领域得到了应用,并且已经形成了一门新的交叉学科——“几何断层学”(Geometric Tomograply)。凸几何学还在医学(X-射线光机、CT扫描、核磁共振)、计算机模式识别、仿晶学(sryslallography)、数理经济学等领域得到了越来越多的应用。

相关著作

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《几何原本》

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,集整个古希腊数学的成果与精神于一身,既是数学巨著,也是哲学巨著,并且第一次完成了人类对空间的认识。该书自问世之日起,在长达两千多年的时间里,历经多次翻译和修订,自1482年第一个印刷本出版,已有一千多种不同版本。《几何原本》共有十三卷,首先给出了点、线、面等定义,接着给出了关于几何学和量的10条公理,如“凡直角都相等”“整体大于部分”,以及后来引起许多纷争的“平行线公理”,等等,公理后面是一个一个的命题及其证明。比如有平面作图、勾股定理、余弦定理等问题,此外还有比例的理论,正整数的性质与分类,无理量等,公理化结构是近代数学的主要特征,《几何原本》是公理化结构的最早典范。

几何学

《几何原本》

《几何》

《几何》由法国数学家笛卡尔出版于1637年,被公认为解析几何学诞生的标志。《几何》一书把代数应用于几何,使两者结合起来的产物,建立了曲线和方程的对应关系,对一个含有被笛卡尔称作“未知和未定的量”

的代数方程,如果任意给

一个值,从这个方程就可得到

的一个值。《几何》共分为三部分:第一部分是“仅使用直线和圆的作图问题”。在这一部分中,笛卡尔将作图问题归纳为作出未知线段;第二部分是“曲线的性质”,主要介绍曲线的含义、分类及轨迹问题。在这一部分中,笛卡尔认为前人对曲线的分类毫无意义,他重新对曲线的概念进行论述。第三部分是“立体与超立体问题的作图”。这部分内容关注的是方程的性质以及如何求解方程。

《几何基础》

希尔伯特的《几何基础》第一版出版于1899年,以严格的公理化方法重新阐述了欧几里得几何学,书中首先给出不定义的概念一点、线、平面、在……之间、一对点重合、角的重合,然后列举了欧几里得几何的公理系统,并用这些公理证明了欧几里得几何的一些基本定理。此外还证明了这些公理是独立的。《几何基础》是数学史上的一部具有划时代意义的著作。希尔伯特在世时,他所著的《几何基础》的最后一版是第七版。去世以后,他的学生P.贝尔耐斯(Ber. nays)对第七版进行多次增补、修订,到1977年出到第十二版。补篇中所增加的大部分内容是受H.弗里敦塔尔(H.Freuden- thal)所写的“关于几何基础的历史”(Zur Geschichte der Grundlagen der Geometrie,见数学的新记录(Nieuw Archief Voor Wiskunde)(4),第105页一第142页(1957))一文的启发,特别是其中对原书阐述面积的理论及其应用所作的批评,他曾以此文题献于希尔伯特《几何基础》第八版一书。

相关定理

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平面几何

  • 相关定理

1.平行线性质定理:两条平行线与第三条直线相交,则同位角、内错角相等,同旁内角和等于二直角。

2.三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面内的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条直线垂直。

3.毕达哥拉斯定理:在直角三角形夹直角的两个边上画出的两个正方形面积之和等于直角所对的斜边上画出的正方形面积。

4.三角形面积公式:5.三角形共边定理:设直线

与直线

相交于点

,则

解析几何

  • 坐标系

在平面内画两条相互垂直、原点重合的数轴叫做平面直角坐标系,(rectangular coordinate system),水平的数轴称为

轴(x-axis)或横轴,习惯上取向右为正方向;竖直的数轴称为

轴(y-axis)或纵轴,取向上方向为正方向;两坐标轴的交点为平面直角。

  • 向量

数学中,把既有大小又有方向的量叫做向量。通常用有向线段(directed line segment)

表示向量,以

为起点、

为终点的有向线段记作向量

,线段

的长度也叫做有向线段

的长度,记作

  • 相关定理

1.若向量

,则向量

和向量

共线的充分必要条件是

可以写成

的数乘,即

,其中

是由

唯一确定的一个实数。

2. 若

为三个不共面的向量,则空间中的任意一个向量

都可以写成

的线性组合,即存在不全为零的实数

使得

。其中数量

唯一确定。

3.设空间坐标系Ⅰ到坐标系Ⅱ的过渡矩阵是

。则Ⅰ和Ⅱ同定向的充分必要条件为

;从而它们是反定向的充分必要条件为

4. 已知平面内两点

,且点

的比是

,那么分点

的坐标是

微分几何

  • 向量函数

给出一点集

,如果对于

中每一个点

,有一个确定的问量

和它对应,则可以说,在

上给定了一个向量函数,记作

  • 曲线

如果曲线中的每个分量都是

函数;

,对任意

t∈ (a,b) 成立。则曲线

称为正则曲线。

  • 简单曲面

平面上不自交的闭曲线称为约尔当(Jordan)曲线.约尔当曲线分平面为两部分,并且每一部分都以此曲线为边界,它们中间一个是有限的,另一个是无限的,其中有限的区域称为初等区域。如果平面上初等区域到三维欧氏空间是一一对应的,双方连续的在上映射,则把三维欧氏空间中的象称为简单曲面。

  • 相关定理

1.唯一性定理:设

中两条以弧长

为参数的正则参数曲线,

。如果它们的曲率处处不为零,且有相同的曲率函数和挠率函数,即

,则

有中的一个刚体运动

变成

2.存在性定理:设

是定义在区间

上的任意二个给定的连续可微函数,并且

。则除了相差一个刚体运动之外,存在唯一的

中的正则曲线

,使得

的弧长参数,且分别以给定的函数

为它的曲率和挠率。

3.梅尼埃(Meusnicr)定理:曲面曲线

在给定点

的曲率中心

就是与曲线曲线

具有共同切线的法截线

上同一个点

的曲率中心

在曲线

的密切平面上的投影。

4.罗德里格(Rodrigues)定理:如果方向

是主方向,则

,其中

是曲面沿方向

的法曲率。反之,如果对于方向

,则

是主方向,且

是曲面沿方向

的法曲率。

几何作图

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尺规作图

尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图。直尺的功能仅仅是作为一个画直线的工具,而不能用以测量或标示出距离。只用直尺和圆规作图的传统要回溯到古希腊时期,希腊人认为直线和圆是最基本的图形,而直尺和圆规使它们具体化,所以便选择只用这两种工具作图。尺规作图有五项“公法”:

(1)根据两个已经确定的点作出经过这两个点的直线。

几何学

经过两点的直线

(2)以一个已经确定的点为圆心,以两个已经确定的点之间的距离为半径作圆。

几何学

尺规作圆

(3)确定两个已经作出的相交直线的交点。

几何学

相交直线的交点

(4)确定已经作出的相交的圆和直线的交点。

几何学

相交的圆和直线的交点

(5)确定已经作出的相交的两个圆的交点。

几何学

相交的两个圆的交点

古希腊人在研究尺规作图过程中,提出了三个著名的尺规作图问题,称为三大不可能问题。即三分角问题:把一个给定角三等分;倍立方问题:作一个立方体使它的体积是已知立方体体积的两倍;圆化方问题:作一个正方形使它的面积等于已知圆的面积。要想用圆规和直尺解决以上3个作图问题,是根本不可能的。古希腊三大作图问题直到19世纪,经过两千多年的探索,最后才证明在尺规的限制下,根本不可能作出所要求的图形。并在探索这三个问题的过程中隐含了近代代数学的思想。其中,法国数学家伽罗瓦解决了古希腊三大尺规作图问题的两个问题:“三等分任意角”和“倍立方体”。

软件做图

随着现代教育技术的发展,数学软件的应用使得数学教学与学习技术更加方便,简化了教学过程中存在的问题,具有较强的直观性和针对性,大大地促进了学生对知识的理解。 而几何画板软件根据其自身优点实现了教学过程中图形和数据方面的直观表达,将抽象的数学论述可视化,形象、 直观、动态地展示数学知识。几何画板是由美国 Key Curriculum Press 研制的数学软件,主要功能有绘制函数、几何图形度量计算、动画、迭代等,其在动画过程中,能保持和突出几何关系,可以构造出各种几何图形和解析几何中的所有曲线。

几何学

几何画板软件

几何学公理系统

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希尔伯特的前驱者

19世纪以后,几何学空间概念发展的另一方向,是按照所研究流形的微分几何原则的分类,每一种几何学都对应着一种定理系统。在几何学公理法结构的领域里,第一个巨大的成就是帕士的研究“新几何学讲义”(Pasch,Vorlesungen über neuere Geometrie,1882)”。帕士认为,几何学的基本命题应该从实验得来,但是几何学系统的进一步的展开应该循着纯逻辑推断的途径进行。为此他提出了12条公理以及关于图形的合同概念的10条公理。虽然帕士的公理存在一定功绩,但过分夸大了为建立点的顺序所需要的公理的个数,也只是非常接近于达到展开几何学的公理系统。

以后,意大利的学者们——G.丕阿诺(G.Peano)和他的学生们对几何学基础提供了一系列的工作。G.丕阿诺自己的研究“逻辑地叙述的几何基础”(Principii di geometria logicamente esp-osti,1889)讲述了比较狭窄的课题。丕阿诺给出的只相当于希尔伯特的第一和第二组公理,即关联公理和顺序公理。M.庇爱里(M.Pieri)在“作为演绎系统的初等几何学”(Della geometria elementare come sistema ipotetico deduttivo,1899)中独创地提出了欧几里得几何的公理系统的建立。他认为每一个运动是点集合到自身的一一映射,但是这还不是运动的完备的定义,因为其余的公理还把补充性的限制加在这个概念上。但由于M.庇爱里为了形式的简单,想要达到基本概念的极小个数,却在实质上把公理系统弄得非常复杂化,也就使得公理形态变得极为笨重。

希尔伯特的公理系统

人们对《几何原本》中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的发现,正是推动几何学不断向前发展的契机。最后德国数学家希尔伯特(Hilbert,1862~1943)在总结前人工作的基础上,在1899年发表了《几何基础》。在这本书上,他不但提出了完备的几何公理系统,而且还给出证明一个公理对于别的公理的独立性和证明已知公理系统确实完备的普遍原则。希尔伯特的工作,完成了几何学完善的公理体系——“希尔伯特公理体系”,希尔伯特的公理体系结构包括基本概念和公理两部分,其中基本概念包括“点”“直线”“平面”3个基本概念以及“点在直线上”“点在平面上”“一点介于两点之间”“两线段相等”“两角相等”5个基本关系;公理分为5组、20条。主要有结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理以及平行公理。这个公理体系自然地划分公理,使得几何学的逻辑结构变得非常清楚,公理系统的这种划分,首先能够单纯而又简明地写出公理。其次,即使作为基础的不是整个公理系统,而是按照自然方式划分公理系统而成的某些组公理,依然能够研究几何学究竟可以展开到多远。

应用

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几何学主要用来研究空间结构及性质,是数学中最基本的研究内容之一,与代数、概率与统计在初中阶段发挥着重要作用。几何学可以很好得培养学生的逻辑推理能力,并且已经被应用到更多领域。

物理领域

物理学发展到20世纪,几何学被引入到物理理论中。爱因斯坦借助黎曼几何构建了广义相对论,杨振宁发现规范场与纤维丛的对应关系,而到1980年代后拓扑量子场论的诞生,又将物理学推向了新的高峰。几何学理论和相关概念在物理理论中大量使用,以至于有很多人说“物理就是几何学”。1915年的广义相对论,是物理学几何化的第一个里程碑,微分几何从此成为物理学家必须掌握的一门数学语言。流形(manifold),可以认为就是各种各样的图形。为了能够计算流行,必须得在流形上建立坐标系。平直空间中向量可以随便平移都不会发生改变,可是在弯曲空间中这种自由就不存在了。例如在球面上移动向量,同样从赤道上出发开始“平动”(注意2维球面内的向量方向只能切于球面),经过橙色路径后到达北极的指向与经过蓝色路径到达北极的指向并不相同,这就是由球面的弯曲造成的效果。黎曼曲率就是利用这种效果来定义流形上每点的曲率。具体做法是让初始向量

从自家位置

点出发,沿着闭合环路在家附近溜达一圈再回家,旅行之后的向量就会与出发前的向量有所差别。我们用向量

代表这个变化量。

几何学

球面上移动的向量

艺术领域

国际著名建筑师--女魔头扎哈·哈迪德设计的北京的大兴国际机场,被称为世界七大奇迹之首。哈迪德本身是学数学出身,她创立了一个新的学派。这个学派最大的特点就是,用黎曼几何,来取代欧式几何。从空中鸟瞰大兴机场的棚顶结构,可以看到一个六芒星的结构,建筑上有很多非常光滑的曲线,里面有两组彼此垂直的曲线结构。而它在几何学中是对应一个非常深刻的数学概念,叫做叶状结构。大兴机场内部的钢架结构,从本质上讲,它得到了两族调和的叶状结构,结构中间存在一个稳定的奇异点。所以大兴机场,完美的将艺术和几何学结合在一起。

几何学

北京的大兴国际机场

医学领域

在医学图像领域,共形几何应用非常广泛,比如共形脑图。人的大脑,形状非常地复杂,有很多沟回,这些沟回,会随着时间发生变化,比较两个大脑是非常困难的,但通过共形变换可以把大脑映到单位球面上,并且这个映射基本是唯一的。得到这个映射之后,为大脑的每一点确定唯一的经纬坐标。这样可以在大脑上精确地定位,进行比较。

几何学

共形脑图

在医学图像中几何的另一个应用是关于癌症检测。直肠癌是男子常得的疾病,普通男子过了中年之后,肠子里面会长出一些息肉。如果息肉的位置长得不对,经不断摩擦它的DNA复制次数就会非常多,这样就非常容易出错,出错之后就会形成癌变。于是便有了虚拟肠镜的方法,核心的想法就是——把肠子的皱褶打开摊平到整个平面上。如果以传统方式来检查,在活人身上是不可能实现的,但是用数字模型可以解决这个问题。虚拟肠镜可以把所有肠壁的皱褶给摊开,把所有的息肉暴露出来,然后用CT来扫描人的直肠得到数字模型。最后,医生通过戴上VR眼镜就可以清楚的观察肠道的内壁。

几何学

人体的肠子通过虚拟肠镜被打开

安防领域

在安防领域,也用到大量的计算机视觉的知识。三维人脸识别、三维人脸注册,非常普遍用到的数学几何学原理。比如人脸曲面配准。给定两张三维人脸,在他们之间建立一一映射。使用方法就是把三维人脸,用黎曼映照,映到二维的圆盘上。这样通过降维攻击,就把这三维问题变成了二维问题。二维问题,会简化非常多。比如要把男孩的脸映到女孩的脸上。首先利用一些机器学习的方法,找到人脸上的特征点,比如眼角、鼻窝还有鼻尖,然后使特征点对齐。其次,使得整个的畸变达到最小。

几何学

人脸曲面配准模拟

注释

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展开[a]

初级中学课本《几何》

[b]

又称立方倍积问题

[c]

相当于希尔伯特的第一组和第二组公理

[d]

相当于希尔伯特的第三组公理

参考资料

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词条目录
  1. 定义
  2. 名称由来
  3. 研究对象
  4. 分类
  5. 平面几何
  6. 立体几何
  7. 基本概念
  8. 图形
  9. 测量
  10. 性质
  11. 简史
  12. 古代时期
  13. 几何学概念的形成
  14. 欧几里得几何
  15. 欧几里得之后的平面几何学
  16. 近代时期
  17. 射影几何
  18. 解析几何
  19. 非欧几何
  20. 现代时期
  21. 拓扑学
  22. 计算几何学
  23. 凸几何学
  24. 相关著作
  25. 《几何原本》
  26. 《几何》
  27. 《几何基础》
  28. 相关定理
  29. 平面几何
  30. 解析几何
  31. 微分几何
  32. 几何作图
  33. 尺规作图
  34. 软件做图
  35. 几何学公理系统
  36. 希尔伯特的前驱者
  37. 希尔伯特的公理系统
  38. 应用
  39. 物理领域
  40. 艺术领域
  41. 医学领域
  42. 安防领域
  43. 注释
  44. 参考资料

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