毕达哥拉斯

毕达哥拉斯（英文：Pythagoras，古希腊语：Πυθαγόρας、Pythagóras，约公元前580年-前500年）是古希腊数学家、哲学家、音乐理论家，也是毕达哥拉斯学派的创始人。毕达哥拉斯出生在爱琴海中部的萨摩斯岛（Samos，今希腊东部小岛）的商人家庭，幼年时赴提尔学习东方的宗教文化和知识，后跟随数学家泰勒斯、天文学家阿那克西曼德和菲尔库德斯等名师研习数学和天文学。公元前530年左右，毕达哥拉斯在西西里岛的克罗托内（Croton）建立起集宗教、政治和学术为一体的毕达哥拉斯学派，该学派后来绵延兴盛了两个多世纪。后因受到反对势力的打击，毕达哥拉斯迁徙至他林敦（今意大利南部塔兰托），在约公元前500年逝世。

毕达哥拉斯生于公元前580年左右的希腊萨摩斯岛，彼时该岛正值鼎盛期，经济与文化遥遥领先于其他希腊城邦。自幼年时期起，他就展现出卓越的求知欲和好奇心，九岁时跟随富商父亲赴提尔，师从闪族叙利亚学者，汲取了东方的宗教文化和知识。随后，毕达哥拉斯随父多次游历小亚细亚地区。约在公元前551年，他前往米利都、得洛斯等地，拜数学家泰勒斯、天文学家阿那克西曼德和菲尔库德斯为师，进一步研习数学和天文学。在此前，他还曾在萨摩斯诗人克莱非洛斯处学习诗歌和音乐。然而，因其传播理性神学思想、身着东方服饰及蓄发等与众不同之处，毕达哥拉斯在当地遭遇误解和排斥。在公元前535年，30岁的他被迫离开故乡，途径腓尼基沿海城市并在提尔的一座神庙中修行，期间深入了解当地神话与宗教。毕达哥拉斯还曾游历埃及，得到国王阿马西斯的推荐，得以进入神庙深造，从公元前535年至公元前525年的十年间，他学习了象形文字、埃及神话、历史和宗教，并将希腊哲学带到埃及。回到萨摩斯时，已49岁的毕达哥拉斯开始讲学并创办学校，但并未取得显著成果。公元前520年左右，为逃避暴政，他带着母亲和一名弟子迁往西西里岛的克罗托内，并在那里建立起一个集宗教、政治和学术为一体的团体，也就是毕达哥拉斯学派，学派成员不论性别，共享财产，组织严密且具有强烈的宗教色彩。每一位学员须经严格的学术训练、神秘仪式以及规范戒律的考验，他们信奉通过数学可以净化心灵、与神合一，宣扬“万物皆数”的观点，这是毕达哥拉斯学派的核心理念。学派成员践行简朴生活、自我约束、贞洁和服从的原则，在大希腊地区声名鹊起，影响力颇大，但也因此招致反对者的攻击。面对民主运动的压力，学派在克罗托内的活动遭受严重打击，毕达哥拉斯不得不迁徙至他林敦（今意大利南部塔兰托），并在公元前500年逝世，享年80岁。毕达哥拉斯离世后，他的门徒们仍在弗利奥斯和塔兰托等地继续传播和发展他的学说与理念，因此毕达哥拉斯学派得以绵延兴盛了两个多世纪。

毕达哥拉斯雕像

“数是万物的本原”是毕达哥拉斯学派的哲学纲领。这种“本原”已有“原理”的含义，因为热衷于并大为推进数学学科的毕达哥拉斯学派，在哲学上也强调以理智的沉思从数量关系与空间的几何形式结构去把握事物本身内在的本性亦即一种原理，并且用这种“有定形”和“无定形”的基本对立法去解释万物的生成和规定、宇宙的“和谐”甚至力图用这种哲学纲领去解释灵魂和社会的基本价值。

毕达哥拉斯学派研究数学时，将算术与几何紧密结合在一起。他们的数学之数字篇，不是纯概念的数或数目，而是事物的数量关系和几何形式结构内在地关联在一起的数，是一种图形数、几何数。毕达哥拉斯学派将这种数升华为万物的本原，一种哲学原理，也就是将他们用理智思维所认识的事物的量和几何形式结构，看作宇宙万物的本性。毕达哥拉斯学派认为，不能从某种具体物质寻找万物派生与复归的本原，而是从事物内在的数的规定性发现宇宙整体与万物的本性或原理，认为这种数比火、土、水在实质上更相似于现存永恒生成的事物，也比火、土、水等能更大范围地说明超越自然范围事物的原理。这在早期希腊的本原观演进中，开启了一种哲学认识的方向性转折。毕达哥拉斯学派认为日常生活中的事情与各种技艺的实践都是可以数为尺度来批判，如“债款、选票、证据、契约、时间、周期等都是和数结合在一起的。”他们将理性和本性与“一”等同起来，又将“一”等同于阿波罗神；他们认为“相互的义务和相等性是正义的特性”，它存在于“四”这个数中；他们说的婚姻是“五”这个数；他们说“七”这个数是机会；也是“雅典娜女神”，等等。由于这种对数等夸大等神秘解释以及她和宗教等幻想，前期毕达哥拉斯学派的数学的数和本原的数也包含着与实在事物分离成为精神实体而通向唯心论的元素。

根据以数为本原的总原理，毕达哥拉斯学派的成员还从自然与人间的事物中，概括出十种对立，称它们也是本原，这可以说是希腊哲学家史上第一次较规整地提出了对立的范畴表。根据亚里士多德的记述，这十种对立是：

十种对立

参考资料：他还说后来的此学派成员阿尔克迈恩也相似地认为“相反”是事物的本原，只是随意例举“白和黑、甜和苦、善和恶、大和小”等相反的东西。阿那克西曼德说“阿派朗”通过对立生成宇宙万物，只是例举冷与热、干与湿等少数物态变化等对立，还没有将这些对立提到本原的高度。这里，最基本的对立是“有限”和“无限”，它们并不是后来哲学所说的时间与空间量度的有限和无限，而是指“有限定”和“无限定”，就是在数量与形式结构上有没有规定、尺度、确定性，这是在考究数本原构成万事万物中的关键所在。排在“有限”一行的对立面都是毕达哥拉斯学派认为“有定形”的；排在“无限”一行的对立面则是他们认为“无定形”的。

毕达哥拉斯盟会的主要教义之一是宣扬身体是灵魂的坟墓，灵魂可脱离身体、轮回转移甚至永恒不朽，灵魂就像是一种可永久存在的纯粹的精神实体。第欧根尼•拉尔修记述了毕达哥拉斯学派某些成员的观点：一切生命物都分有热，而植物却无灵魂，就因为它只分有以太多冷的部分，而人和动物的“灵魂是从以太分出来的部分”，特别是它分有了热的以太部分。“灵魂不同于生命；它是不朽的，因为它所从出的部分就是不朽的”。他们反对认为生命物可从泥土中自发产生的意见，描述当一滴精液“进入子宫，就从脑髓生出灵液、流体和血液，这些就形成为肌肉、神经、骨头、头发和整个身体，而灵魂和感觉则是由包含于其中的热气生成的”。这种见解和后继的该学派成员阿尔克麦恩主张的脑是生命中枢的思想接近。亚里士多德记述毕达哥拉斯学派认为灵魂是“空气中的尘埃”或“尘埃运动”的推动者，大约也是指上述热的以太岁片，他们还不可能将灵魂说成是某种运动的精微原子。在他们看来，这种对灵魂的生命科学思想的解释以及灵魂不朽与转移说，是可协调一致的。灵魂不朽，就因为构成它的热的以太碎片是不朽不灭的；灵魂可转移，就因为它是生命的“种子”，仍可以促使另一个生命体发育成长。他们提出人和动物的感觉功能也是出于这种生命体具有的以太的热气，这可以说是希腊哲学史上最早猜测感知功能有其生理功能基础的理论。柏拉图在《斐多篇》中记述，毕达哥拉斯学派的代表人物菲罗劳斯的学生西米亚斯和苏格拉底讨论灵魂不灭问题时说，毕达哥拉斯学派有一种灵魂理论，“大体是这样的：身体是由热和冷、湿和干等对立的元素按照某种张力结合起来的，而灵魂却是由它们之间有比例的调和而成的和谐”，身体有危病或过度紧张，灵魂这种“和谐”功能可先于身体而消灭。西米亚斯反驳苏格拉底的灵魂不朽论，主张灵魂是物态元素的“和谐”、灵魂可灭，已经突破了毕达哥拉斯的宗教教义。

在早年的治学时期，毕达哥拉斯经常到各地演讲，以向人们阐明经过他深思熟虑的见解，除了“数是万物之原”的主题外，他还常常谈起有关道德伦理的问题。在谈到治家时，他认为对儿女的爱是不能指望有回报的，但做父亲的应当努力用自己的言行去获得子女由衷的敬爱。父母的爱是神圣的，作子女的应当珍惜。子女应是父母的朋友，兄弟姐妹之间也应该彼此互敬互爱。当提到夫妻关系时，他说彼此尊重是最重要的，双方都应忠实于配偶。毕达哥拉斯还谈到过自律的问题。他说，自律是对人个性的一种考验，对儿童、少年、老人、妇女来说，能自律是一种美德，但对年轻人来说，则是必要。自律使你身体健康，心灵洁净，意志坚强。毕达哥拉斯从如何培养自律讲到教育的重要性，他认为人的自律只能在理性和知识的指导下才能培养起来，而知识只能通过教育才能获得，所以教育的重要性是不容忽视的。毕达哥拉斯认为，美德乃是一种和谐，正如健康和神一样。友谊也是一种和谐的平等。因此，他提出要敬神、敬父母，要用道德标准选择朋友，对朋友要谦让、忍耐；对人言行要公平，甚至人说坏话也要谦逊地退让。

毕达哥拉斯学派从数本原论出发，去研究全部宇宙和天体运行结构，他们认为，宇宙和天体也是在空间上有限定的，有和谐的秩序的，由此提出了一种和伊奥尼亚学派不同而较为严整的宇宙论，以及相关的一些天文学上的见解。

毕达哥拉斯最早研究了谐音与音乐中存在的某种数量比例关系。毕达哥拉斯在铁匠铺从打铁发出的谐音中得到启发，便比较不同重量的铁锤打铁时发出的不同谐音，有用琴弦做实验，测出不同弦的长度和音程的比例关系：八音程为2:1，五音程为3:2，四音程为4:3。毕达哥拉斯本人及其学派根据这种音程的比例关系，对谐音学做了开创性的研究。毕达哥拉斯学派从数本原论与谐音学中形成了一个重要的范畴，即“和谐”，此词的原意是“将不同的东西美好地连接、调和在一起”，如音乐将不同的音调优美地结合在一起而成为有审美意义的谐音。推广成为一种哲理范畴，和谐就是一定的数的比例关系，如该学派发现的“黄金分割线段”能产生审美效果，和谐也是绘画、雕塑、建筑等艺术在形式结构中体现的美。和谐不仅是万物有善的限定性原理，也是这个学派的审美与伦理价值观念。毕达哥拉斯学派将这种根据数学比例的和谐与谐音观念运用于推设有限的宇宙模型，提出一种有天赋的天体运行结构说。“科斯莫斯（cosmos）”的希腊文原意是“秩序”。据记载，毕达哥拉斯第一个将天称为“科斯莫斯”，并且说地球是圆形的。他说的“科斯莫斯“已经是指有秩序的宇宙或世界。该学派并不研讨宇宙如何出于某种物质本原的生成与演化，而是注意研究宇宙的动态形式结构，径直认为宇宙是一个有限、有序的和谐整体，天穹是圆形的，分布在特定位置上的各种天体在限定的圆形轨道上运行。毕达哥拉斯学派认为，天空中的各种天体由于自身大小、相互距离与运动速度不同，就会产生不同的音调，合成和谐的音乐，即天体的谐音。关于这种巨大的声音为什么人们听不到，毕达哥拉斯学派解释说，人们从出生起耳朵里就充塞着这种声音，以至“分辨不清”，就像铁匠习惯于打铁声，就听而不闻了。毕达哥拉斯学派的宇宙论是一种动态的天体运行结构说，由天体运动而推断必定存在着极为优美的天体谐音，这只是依据数学比例和人世音乐所作的一种类比推理。

毕达哥拉斯学派将他们主张有限、有序的和谐宇宙模型，描述为一种十个天体围绕同心圆中心在圆周轨道上运行的动态的天体系统。艾修斯记载了菲罗劳斯所表述的这种天体运行的结构：处于宇宙中央的全部是天体的“火炉”、“支持者和尺度”，即“中心火”。有十个神圣天体“按照自然的秩序”由远及近依次排列，围绕中心火旋转，它们是对地、地球、月球、太阳；再后面的五个行星，即金星、水星、木星、火星、土星；最后恒星天群。月球以内是“环绕天体的最高领域”是“奥林帕斯”，“那里的要素成分的纯度是最纯的”。在这可见的宇宙外缘还有一些边缘火团“在极高的地方环绕着宇宙”，星光可能就是从它获得的。而在最远的更外面，是“无限的嘘气”或简称“普纽玛”。艾修斯关于天体的描述是希腊科学思想史上第一次描绘的有确定轨道的天体运行系统，它记述的地球、月球、太阳、五个行星和恒星天的序列，是对当时天文观测经验的概括。这个宇宙模型中也有唯物论满足“数”的完善性而虚构的内容，即他们设想了一个不可见的天体“对地”。因为他们认为“十”是表征完善性的数，为了凑足十个天体，他们就在地球和中心火之间纳入一个并无任何观察根据的“对地”。他们解释人之所以看不见“对地”，是因为“地球在运行中和对地保持相反的位置。在这个天体系统中，有三点和早先的希腊自然哲学家的一般见解不同：第一，认为大地是球形的，并不处于宇宙的中心。第二，关于中心火的问题。毕达哥拉斯学派认为宇宙中心是火团，不是地球。第三，关于“无限的嘘气”的问题，该学派认为，在宇宙外缘有要素成分最纯的“奥林帕斯”，在更远的外部有“无限的嘘气”，也称“普纽玛”。

毕达哥拉斯学派是一个带有神秘色彩的宗教社团，主要崇扬奥菲斯教，也混合斐端居德教的思想，将科学与宗教、理智与信仰结合在一起。毕达哥拉斯和奥菲斯、斐瑞居德一样主张灵魂不朽和灵魂轮回转世。希腊人崇奉奥林帕斯诸神的传统宗教带有露骨的神人同形同性色彩，是以诉诸想象力的河马神话为渊源。后来兴起的对狄奥尼索斯的崇拜是对希腊传统宗教的一种突破与革新，它通过肉体上的迷醉和精神上的狂喜引导人和神沟通并合为一体。它发展为奥菲斯教教义已添上的灵魂不朽与轮回说、灵魂净化说和禁欲主义。希腊传统宗教和荷马神话认为，灵魂仅仅是人自身的伴影，人生前受神主宰，死后灵魂总是去地府遭受不幸。奥菲斯教则认为灵魂依存肉体时也可通过修炼获得净化，使人死后的灵魂摆脱投生动物、植物的轮回而恢复神性，享受永恒的福祉。这种教义在公元前6世纪切合希腊人提升人身价值的社会心理，奥菲斯教也就盛行开来。毕达哥拉斯学派则对奥菲斯教又做了改良与革新。毕达哥拉斯学派已试图使这种宗教向理智化、伦理化提升，将宗教、科学与哲理、社会伦理结为一体，这主要表现在两个方面：第一，在奥菲斯教教义中纳入哲理性内容。第二，在奥菲斯教中注入某些伦理与道德精神。

毕达哥拉斯在数是万物本原的数学哲学思想指导下，潜心研究数学，给数赋予了很多特殊的含义，毕达哥拉斯认为六面体中包含有地球的奥秘，四棱锥中蕴藏有火的含义，十二面体中囊括有宇宙的神秘。还把数分为聪明的、愚蠢的、知足的、不知足的，并且给出了平均数、亲和数和完全数的概念。他认为完全数或完美数就是除本身外各因数之和等于他本身的数。而对于亲和数，毕达哥拉斯是这样说的：人们之间讲友谊、讲和谐，而数之间也有相亲相爱，这便是亲和数的由来。他对亲和数的解释是这样的：有两个正整数A和B，如果A与B的所有真因数之和互逆，则把A和B称为一对亲和数。毕达哥拉斯首先发现了220和284是一对亲和数，直到1500年后才由费马发现了另一对亲和数。古希腊人对亲和数赋予了特殊的神秘的色彩：凡是身上佩戴有亲和数字的两个人之间保持着某种良好关系。同时，毕达哥拉斯还把自然数划分为奇数、偶数、三角数和五角数等几种不同类型的数。毕达哥拉斯认为，这些不同的抽象的数便是宇宙万物的始基，不同情况的数按照数量的多少或它们之间不同的比例关系组成或构成宇宙中不同的物体，这就形成了宇宙中物体多与一的统一。

勾股定理的发现和证明与毕达哥拉斯的数学哲学思想是密不可分的，据说毕达哥拉斯定理的发现历史上有这样的记载，毕达哥拉斯到一位朋友家做客，大家都在无聊地等待开饭，而毕达哥拉斯利用这段时间仔细观察朋友家美丽方形的瓷地板砖，在毕达哥拉斯万物皆数思想的驱动下，必然想到了它们和“数”之间有什么联系。于是他拿出一支笔蹲在地上，以其中一块瓷砖的对角线为边画正方形，发现这个正方形的面积恰好等于两块瓷砖的面积之和。他由此加以推广，得出了一个关于直角三角形三边关系的定理：“如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。”“据说毕达哥拉斯学派为了庆祝毕达哥拉斯的发现，竟杀了一百头牛来献祭……”，故该定理称为“百牛定理”。在中国称为“勾股定理”，国际上称为“毕达哥拉斯定理”。

毕达哥拉斯研究数学的目的不只是用于解决实际问题，而主要用来探究世界的本原，他把非物质性的“数“当成世界的本原。整数在毕达哥拉斯时代的数学中居于崇高的地位是很自然的事，毕达哥拉斯又把“数”指整数或整数之比的数学思想作为该学派的宗教信仰而神圣不可侵犯的哲学信条，这种信仰是该学派存在的基石，但毕达哥拉斯定理的发现彻底改变了这一现实并引发了第一次数学危机。毕达哥拉斯学派有一位叫希帕索斯（Hippasus）的学员，根据毕达哥拉斯定理计算出了边长为1的正方形其对角线的长为2，但2既不是整数也不是两个整数之比，公元前5世纪的希帕索斯对于2是个什么数的问题百思不得其解，毕达哥拉斯对于这个问题陷入了极度的恐慌和不安之中。如果不承认这一事实，但又找不到合适的理由和破绽，因为希帕索斯是按照自己的定理推导出来的。如果承认这一事实，2不是整数也不是两个整数之比，这就直接动摇和瓦解了毕达哥拉斯学派的哲学信仰和存在的基石，就如同宣告了自己学派的灭亡。毕达哥拉斯为了维护自己的尊严和学派的生存，严密封锁了这一消息，但天真的希帕索斯无意中向别人透露了这一天机，结果希帕索斯不幸被同伴抛进大海。从第一次数学危机发生到解决，给古希腊数学和哲学带来了革命性的变革，直接导致了影响至今的两本关于数学和哲学的经典著作：关于几何学的欧几里得的《几何原本》和关于逻辑学的亚里士多德的《工具论》。第一次数学危机大约持续了两千多年，直到十九世纪，数学家哈密顿（Hamiton）、康托尔（Cantor）等正式研究了无理数，给无理数下了严格的定义，建立了实数理论，最终消除了第一次数学危机。

毕达哥拉斯在万物皆数的数学哲学思想指导下，认真研究了事物内部的数的结构和数的比例关系，于公元前6世纪发现了黄金分割，有人称之为“神圣分割”。黄金分割实质上就是把一条线段分成长短不等的两部分，较长的部分与较短的部分之比等于整个部分与较长部分之比，其比值就是1:0.618或1.618：1，由此导出了0.618或1.618这个黄金数字。毕达哥拉斯发现这个黄金数字来源于他自己的亲身经历：有一天，他走到一家铁匠铺前，听到铁锤敲击铁砧发出美丽动听的声音，他为了弄清楚这个秘密，特意用尺子测量铁锤和铁砧的长度，发现了它们之间存在着和谐的数字比例关系。回到家里，他又认真研究了把一条线段分成那两段最好，最后得出了1：0.618或1.618：1最好的结论，这个结论被后人称为黄金分割、黄金分割率或黄金分割数。黄金分割0.618这个数字的诞生，对于绘画、摄影、雕塑、建筑、军事等具有重要的作用。如达芬奇的名画《蒙娜丽莎》的脸，其长和宽之比就等于1：0.618；他的另外一幅名画《最后的晚餐》的布局也符合该比例，该油画中犹大的形象就处在黄金分割点上；许多国家的国旗上面都有美丽的五角星，究其因，就是构成五角星的所有线段的比例都等于1：0.618或1.618：1。在雕塑方面，特别是秦始皇兵马俑，兵马俑的垂直线与水平线之比恰是黄金分割点0.618；世界艺术珍品—维纳斯女神，她的上半身和下半身的比值约等于0.618。在建筑方面，建筑师对0.618这个数字情由独钟，无论是古希腊希腊雅典巴台农神庙，古埃及的金字塔，巴黎的圣母院，还是法国的埃菲尔铁塔，其内部结构都有与黄金分割数字0.618有关。在军事上，用于射击子弹的步枪，开始制造的枪身和枪把的比例很不协调，最后经过改进枪身和枪把的比例已非常适合人体使用了，经过测定枪把和枪身的比例又恰为0.618。

毕达哥拉斯的教育思想建立在哲学和科学理论基础上，其教育目的是培养能建立和指导完美社会秩序的人，以及遵循良好秩序的社会公民。毕达哥拉斯及其学派的教育内容是把数学放在最高的地位，同时注重音乐、天文、体育等和谐教育。他认为，若想摆脱无尽的轮回、重归于神的怀抱，惟有通过神秘的入教仪式，从事科学研究、哲学思考，这是人生的惟一目的，也是教育的最终目的。学派成员在学习期间，要保持沉默，只能听老师的讲授，自己专心思考，不随便发表议论。学派的教育重视道德上的自我修养以及宗教仪式的实践活动，成员每天早晚都要进行自我反省，力求达到逐步克服自私与虚荣的境地。学派的宗教活动也是必不可少的，学派成员要定期到神庙中聚会，举行献祭等宗教仪式。经过考试，毕达哥拉斯将门徒分为“数理学派”和“信条派”两个级别。数理学派是那些学到他精心制作的细致的学说的人，信条派的人是只听到他的学说的概要，而没有准确的解释。这种方法使不同素质和不同起点的成员都可得到相应的教育，是因材施教和分级授课思想在教学中的具体体现。由于毕达哥拉斯及其学派持有众生灵魂平等的观点，因而他们的教育对象是相当广泛的，更难得的是他们据此认为男女是平等的，所以同时也吸纳妇女进入他们的团体，妇女学员来自希腊各地，甚至远至西西里的叙拉古、北非的迦太基等地。这种对女性教育的重视，在当时的希腊世界是非常罕见的。

毕达哥拉斯的思想中包含有平等的观念，他认为，“友谊就是一种和谐的平等”，并进而认为“国家的正义也是建立在相互平等的各部分基础之上的，正义就是维护这种平等的力量。”对于正义的本性，他认为首先应当是回报上的对等，“即你付出多少，就应当给你多少”，要“把强者从弱者手中夺走的财产完整地归还给弱者”。秩序的思想是毕达哥拉斯及其学派的主要思想之一，对于怎样维持城邦的良好的秩序，毕达哥拉斯认为应当让公民服从法律。毕达哥拉斯非常推崇法律，据说，他本人曾治理特拉斯多年，而他的弟子也有许多是当时著名的立法者。毕达哥拉斯反对僭主和独裁统治，同时他也反对没有法律和秩序的无政府状态，并认为无政府状态乃是最大的恶，认为一部好的法律本身便是最大的价值。他主张维护传统，恪守祖传的习惯和法律，他说“严守父辈的习俗和法律，即使它们并非完美。混乱无序是万恶之首”。

毕达哥拉斯主要著作

毕达哥拉斯将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等，各予探究。时至今日，人们仍将表示直角三角形的三个整数所构成的任何集合称为“毕达哥拉斯三元数组”。在几何学方面，毕达哥拉斯证明了泰勒斯提出的“三角形的三内角之和等于两直角”和“内接半圆的角为直角”的论断，并推证了多边形内角和的定理；研究了黄金分割；发现了正五边形和相似多边形的作图法；最为著名的是他们发现与证明了直角三角形的“勾股定理”，即直角三角形的斜边的平方等于其他两边的平方和。无理数的发现是毕达哥拉斯及其学派的重大成就之一，也是数学史上的一个里程碑。这一发现意味着他们的比例理论及其推论将不得不被全部推翻。后来将这个新发现的数称为“无理数”，无理数的发现对毕达哥拉斯学派而言是一次数学危机，也是一次数学思想对革命，它扩大了数域，推进了算术与几何的发展。

毕达哥拉斯将其数本原对哲学和数学理论用于研究天体和音乐，提出了开创性对有限宇宙结构模型论和谐音学（声学）。他们在这方面的重要科学成就，也深远地影响了希腊以至近代欧洲的天文学与宇宙论。哥白尼赞同毕达哥拉斯学派的主张，在《天体运行论》中提出用简明的几何图像来表示宇宙的结构和天体的运行规律；推进哥白尼学说的开普勒也深受毕达哥拉斯的宇宙结构论的影响，以数学的和谐性去探索宇宙。

毕达哥拉斯后来成为柏拉图的灵感来源之一；再后来，在文艺复兴时期，他们和德谟克利特一起在启发实验自然科学方面发挥了重要作用。关键之点是这样一个思想：实在是可以用数学的语言来考虑的。实在并不是人们通过感官而经验到的具有多样的质的东西；它是可以测量、可以用数目和数学公式来表达的东西。这种观点可以被看作是一种理想化，因为它强调的是世界的可测量的数学的方面，而不是人类所经验到的世界。毕达哥拉斯他的哲学思想的独有特征就是结合了对数的研究，而之后的哲学家则进一步发展了毕达哥拉斯学派的数本原思想，甚至将其纳入到自己的哲学体系，例如“亚里士多德一贯认为毕达哥拉斯学派主张数是事物的本体，但这种本体只能属于亚里士多德自己所说的‘四因’之形式因或本质因”。数本原思想用一种全新的视角提出了一个问题——数的规则与世界规则之间的关系是什么，针对这个问题，引起了斯宾诺莎、罗素、维特根斯坦等哲学家的思考。近代之后，数学更多是作为一门科学开始独立于哲学进行发展。在当下社会，以数学科学为基础的科学技术却又与一些传统形而上学的研究内容隐约有所交叉，从而产生了一些很有意思的问题，例如算法层面是否可以实现道德机器、数字技术作画的艺术性、人工智能是否具有主体性等等，毕达哥拉斯学派的问题以科技作为载体再一次被提了出来。

毕达哥拉斯和菲罗劳斯

菲罗劳斯（Philolaus）大约出生于公元前474年，活动于公元前5世纪下半叶至4世纪初叶。他对天文学、数学、谐音学、医学、生理学等都有研究，是当时毕达哥拉斯学派中数理派的代表。他将构成天体的元素归结为不同的几何形式结构：土为立方体，火为四面体，气为八面体，水为二十面体，等等。菲罗劳斯的学说和前期毕达哥拉斯学派的基本思想大体一致的，也主张数为本原，整个宇宙中的自然事物都包含有限和无限的对立，而正是有限定性给了事物以规定性。他对毕达哥拉斯学派思想的独特贡献在于，他论述了数的规定性和人的认识的关系，最早开始了句欧粗朴理性的思辨的认识论研究，主要表现在以下三点：第一，数给作为认识对象的事物以有限的规定性。第二，数给作为认识主体的人的灵魂以指导性的规定和能力，使认识成为可能。第三，数的逻各斯是判断真理和谬误的认识标准。

阿尔克迈恩塑像

阿尔克迈恩（Alcmaeon）是克罗顿人，应生活在公元前6世纪末至前5世纪初，他盛年时毕达哥拉斯已垂垂老矣。他是毕达哥拉斯的另一名学生，主要撰写医学著作，但也一再接触自然哲学，如他说“大多是人类的事情是成对进行的”，他也主张灵魂不朽。阿尔克迈恩是一名医生兼哲学家，和毕达哥拉斯的数的思辨不同，他的思想中较多的注重“经验”。他并不将事物限于十种抽象的对立，而是就经验观察所至进行概括。他也主张灵魂不朽，但是淡化了奥菲斯教的神秘，认为灵魂是一种永恒的自身运动的东西。

柏拉图（Plato，约公元前427年—公元前347年），古希腊著名哲学家。柏拉图深受毕达哥拉斯思想的影响，保留了毕达哥拉斯对数学与宇宙秩序统一性的信念，还在哲学深度和广度上大大推进了这些思想。柏拉图认识到毕达哥拉斯对于数学在理解和解释宇宙秩序中的关键作用，认同“万物皆数”的理念，即认为宇宙的根本结构可以用数学关系来揭示。他继承了毕达哥拉斯关于音乐和谐与宇宙比例之间的联系，认为宇宙的运行遵循一定的数学比例，体现了宇宙的内在和谐与完美。毕达哥拉斯学派强调灵魂轮回和净化，柏拉图在此基础上深化了对灵魂的理解，认为灵魂具有理性、意志和欲望三个部分，并主张灵魂可以脱离肉体而独立存在。柏拉图曾在雅典创办了学园（Academy），这是一个综合性的学术机构，旨在探索真理并培养哲学家，这种学院式的教学方式和对知识体系的系统化整理，是对毕达哥拉斯学派秘密传授知识做法的一种改革和发展。

毕达哥拉斯学派（英文：Pythagoreanism，又称毕达哥拉斯主义），是以毕达哥拉斯为主要创始人，以哲学、宗教、政治研究为主要内容的古希腊学术流派。毕达哥拉斯学派从公元前6世纪发端到公元3世纪罗马时期彻底衰落，共延续了800余年之久。学派起源于毕达哥拉斯在克罗顿创办的学园社团，于公元前5世纪末分化成为两大派别，一派是以宣扬宗教神秘主义为主体的信条派，另一派则以从事数学、艺术和自然哲学思想探讨为主的数理学派。毕达哥拉斯学派的研究内容广泛，其中有重要贡献的领域有几何学、天文学、宇宙论、音乐理论、灵魂论等。毕达哥拉斯学派的主要哲学观点是数本原说和灵魂不死论。他们认为一切皆源于“数”，一切可以认识的事物都包含着数，没有数，任何事物都不可能被思考或被认识，其数学哲学讨论的问题还涉及神秘数论、万物皆数、数的和谐等。毕达哥拉斯学派认为灵魂是一种永恒运动的自动的实体，所以它是不朽的，并类似于神，而且灵魂能够转移到其他生物体中。

新毕达哥拉斯主义（英文：neo-Pythagoreanism）罗马帝国时期出现的一种带有宗教色彩的唯心主义哲学。前1世纪到3世纪出现于罗马和埃及的亚历山大城。主要代表是新毕达哥拉斯学派的索提翁、提阿那的阿波罗尼俄斯、阿帕米亚的奴美妞、加德斯的摩德拉图斯等。他们折衷柏拉图主义、亚里士多德主义、毕达哥拉斯主义、斯多亚主义，以顺应当时流行的异教宗教信仰。主要感兴趣的是：神学的思辨和数的象征主义，将毕达哥拉斯神化为宗教启示的奠基人，把毕达哥拉斯思想神化为一种神秘主义生活方式。他们之间缺乏统一的哲学体系或学说，只是各以不同程度倾向斯多亚学派、逍遥学派、柏拉图学派、早期毕达哥拉斯学派。他们在本原问题上，力求回到柏拉图后期致力于结合理念论和毕达哥拉斯学派数的理念。即理念-数论或“不成文学说”，把善等同于一，认为它是二元、无限和有限的源泉，由此导致从一到物质世界。

传说毕达哥拉斯是一个非常优秀的教师，他认为每一个人都该懂些几何。有一次他看到一个勤勉的穷人，他想教他学习几何，因此对此人建议：如果这人能学懂一个定理，那么就给他三块银币。这个人看在钱的份上就和他学几何了，可是过了一个时期，这学生对几何产生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些，并且建议：如果老师多教一个定理，他就给一个钱币。不需要多少时间，毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。

毕达哥拉斯学派具有某种神秘主义的宗教性质，据传学派的有一些规矩是：不吃豆子；东西落下了不要捡起来；不要去碰白公鸡；不要劈开面包；不要迈过门槛；不要用铁拨火；不要吃整个的面包；不要掐花环；不要坐在斗上；不要吃心；不要在大路上行走；房里不许有燕子；锅从火上拿下来的时候，不要把锅的印记留在灰上，而要把它抹掉；不要在光亮的旁边照镜子；当你脱下睡衣的时候，要把它卷起，把身上的印迹磨平。所有这些诫命都属于原始的禁忌观念，其中不少是埃及人的传统，如不吃豆子，不穿皮革，追求圣洁等，这些传统据推测应该是毕达哥拉斯从埃及的祭司那里学来的。

按照第欧根尼的说法，第一个使用哲学这个名称、并称自己为哲学家的人是毕达哥拉斯。传说是西库翁的僭主勒翁在与毕达哥拉斯的交谈中，盛赞毕达哥拉斯并以“σοφός（sophos，智者）”称之。毕达哥拉斯拒绝这个称号，说神才是智慧，自己只是“pihos-σοφός(Philo-sophos)”——爱好智慧的人，即“爱智者”。毕达哥拉斯以希腊大型竞技的赛会来解释“Philosophos”的含义，说是在一场比赛中有些人(角斗士)来比赛争夺桂冠，有些人(商人)是乘机来做生意，但更优秀的是那些对喝彩和取胜都不感兴趣，只是瞧瞧这是怎么个竞技的人。在生活中同样有一些人，生来是功名利禄的奴隶，还有些人比较罕见——只是细心考察大自然——这就是追求真象、事实的爱智者“pihos-σοφός”。很快，人们就把这种研究称作智慧，称这类人为贤者，意在表明其灵魂达到了完美境界，这就是“哲学”一词起源的传说，也奠定了毕达哥拉斯本人在哲学史上的地位。

古希腊哲学家亚里士多德明确地指出：毕达哥拉斯和他的学派所说的这种数学的数“不是分离的，而可感绝的本性是由它形成的，因为他们由数构造出整个宇宙，这数并非只是由抽象单位构成的：他们设定这些单位是有空间幅度的。”英国哲学家康福德在《从宗教到哲学》说，在他看来，“毕达哥拉斯代表着我们所认为与科学倾向相对立的那种神秘传统的主潮。”他认为巴门尼德——他称之为“逻辑的发现者”——“是毕达哥拉斯的一个支派，而柏拉图本人则从意大利哲学获得了他的灵感的主要来源”。英国数学、家哲学家罗素评价道：“数学与神学的结合自毕达哥拉斯开始，这代表了希腊的、中世纪的以及直至康德为止的近代宗教哲学的特征。在柏拉图、圣奥古斯都、托马斯·阿奎那、笛卡尔、斯宾诺莎和康德身上，我们都能发现宗教与推理的密切联系，这些都源自毕达哥拉斯。他认为世界是永恒的，且只能显示于理智而不能显示于感官。可以说，没有他，基督教徒不会认为基督就是道，神学家也不会去探索上帝存在与灵魂不朽之间的逻辑关系。”近现代哲学家叶秀山将毕达哥拉斯及其学派肯定的“有定形”和阿那克西曼德的“无定形”作了比较，深刻指出：毕达哥拉斯学派可以称作为“反无定形性学派”。

关于毕达哥拉斯哲学思想的性质问题尚有争议，主要在于它既有数学的理性主义，主张数是万物本源，同时又具备神秘主义的宇宙观，包含了许多难以为现代科学与哲学接受的神秘元素。支持者如马克思，他看到了毕达哥拉斯所代表的古代哲学的积极意义，认为这些初始的哲学思想还只在这个理想化的、化为思想的宗教领城内活动。恩格斯在《自然辨证法》中也可肯定了毕达哥拉斯宇宙观中的朴素唯物主义的性质，认为其“包藏着后来分裂的种子”。反对者如19世纪德国哲学家黑格尔，他认为毕达哥拉斯是古希腊唯心主义哲学的初步形式，指出了毕达哥拉斯思想中数与实在之间超物质联系的唯心论特点。20世纪哲学家如卡尔·雅斯贝尔斯在分析西方哲学起源时，也指出毕达哥拉斯思想中的唯心主义成分，即后者是通过数的原理来解释和把握宇宙的现象和实质的。

展开[a]存在争议

[b]存在争议

[c]小亚细亚西岸，今属希腊

[d]今意大利半岛南部塔兰托附近

[e]存在争议

[f]毕达哥拉斯的这三部著作存在争议，现在归在毕达哥拉斯学派学员吕希斯的名下。

[g]存在争议

[h]也有资料记载毕达哥拉斯没有留下任何著作或残篇，史家也没有记载过他写有论著，他很可能是述而不作的。

[i]即勾股定理

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