欧拉

莱昂哈德·欧拉（德语：Leonhard Euler, 1707年4月15日～1783年9月18日）, 瑞士数学家、物理学家、天文学家、逻辑学家。

莱昂哈德·欧拉于1707年4月15日出生在瑞士巴塞尔（Basel，又写作Basle）的一个普通家庭。欧拉的祖先大都是工匠，他的父亲保罗·欧拉（Paul Euler）是一位新教徒牧师，也是欧拉的数学启蒙老师。13岁时，欧拉进入巴塞尔大学学习。在大学期间，欧拉跟着约翰·伯努利（Johann Bernoulli，又名John Bernoulli，1667-1748，瑞士数学家）学习，并且与约翰·伯努利的两个儿子丹尼尔·伯努利(Daniei Bernoulli)和尼古拉·伯努利(Nicolaus Bernoulli)成为朋友。1722年，欧拉获得文理学士学位。1723年，欧拉获得哲学硕士学位。

瑞士巴塞尔大学

按照父亲的意愿，欧拉接着进入神学系学习希伯来文、希腊文和神学，但他拒绝当牧师。1725年，欧拉重新走回数学与科学的研究之路。1726年，欧拉撰写了一篇关于船桅的论文，获得法国科学院的二等奖。

莱昂哈德·欧拉画像

1727年，欧拉在争取巴塞尔大学物理教师职位失败后，接受了俄国彼得大帝创立的圣彼得堡科学院的一项工作，他受科学院指派到数学物理学所工作。欧拉在该时期研究指数函数，引进了数学中的重要符号e=2.718……。欧拉的工作需要学习生理学，但仍能从事数学研究，他特别专注于几何学、三角学、分析、数论、力学、天文学和制图。1731年，欧拉在科学院获得物理学教授的职位。1733年，欧拉担任了数学教授一职。1734年，欧拉和一位移居俄国的瑞士画家（时任科学院预科学美术教师）G·葛塞尔（Gsell）的女儿柯黛琳娜·葛塞尔（Katharina Gsell）结婚。圣彼得堡科学院的职责之一是解决俄国政府在抽样及其它技术方面所遭遇的问题，这就使得欧拉可以研究多种学科，如：制图、造船、航海学等。1735年，法国寄来一道弹性力学问题，希望有数学家能在几个月内找到答案，欧拉用了三天时间便解答出来。1741年，他已经发表论文55篇以上，另外还完成了30篇。在圣彼得堡科学院工作期间，他提出了欧拉公式（Euler formula），接着又给出了欧拉常数（Euler constant）。以π来表示圆周率，虽不是欧拉首创，但却是在1737年欧拉采用后才广为流传的。在欧拉的数学生涯中，他的视力一直在恶化，在历经了一场几乎致命的高烧后的第三年——1738年，欧拉的右眼近乎失明，他将此归咎于他为圣彼得堡科学院所进行的辛苦的地图学工作。

圣彼得堡科学院

1741年，由于俄国沙皇的排挤和刁难，欧拉被迫离开圣彼得堡科学院，他接受普鲁士国王腓特烈大帝（Frederick）的邀请，去往柏林科学院。他最初被任命为柏林科学院院士、物理数学研究所所长。他是科学院院务委员和学术著作出版委员会委员、科学院图书馆顾问，兼管天文台和植物园的人事、财务，并负责历书和地图的出版工作。尽管欧拉一直未被任命为院长，但事实上一直领导着整个科学院，直到离开柏林。1748年，欧拉完成了世界第一部沟通微积分与初等数学的分析著作《无穷小分析引论》；1749年，他出版了《航海科学》；1755年，他完成了另一部著作《微分学原理》。俄国天文学家鲁莫夫斯基在德国留学时，就曾在欧拉的领导下进行研究，回国后即担任圣彼得堡科学院的天文学教授。在柏林的25年间，欧拉发表了275篇（部）论文及书籍，除此之外另有100篇已成稿。论文题材包罗万象，甚至有关于牙齿的咬合理论。对于如今数学中主要领域的拓扑学，欧拉是第一位探讨者。欧拉主要用拉丁文和法文写作，但也精通其它文字。他曾将一本关于造炮学的英文书籍翻译成德文，并加上自己写的关于弹道学的附录（厚度为原书的四倍）。这段时期是欧拉科学生涯的第二个黄金时期，他的科学才能和成就逐渐为世界所承认。1749年，他当选为伦敦皇家学会会员；1753年，他被聘为巴塞尔物理数学会会员；1755年，他成为巴黎科学院院士；同年，他成为瑞典皇家科学院的外籍成员。此时，欧拉虽身在柏林，却仍为圣彼得堡寄了上百篇论文，还不时对那里的事务提供咨询意见，俄国也照常支付他的部分薪金。尽管欧拉要负担一大家子，但他是富有的，除了在柏林的住宅以外，他在夏洛滕堡还拥有一个农场。1760年，俄国人入侵，在进犯勃兰登堡边境期间，欧拉的农场遭到抢劫。俄将军声称他“不是对科学宣战”，于是给予了欧拉多于实际损失的赔偿。当伊丽莎白女皇听说了欧拉的损失后，除了赔偿了他的损失外，还加上一笔数目可观的款项。

柏林科学院

1766年，欧拉回到圣彼得堡。不久之后，他的左眼患上白内障，视力几乎丧失。1771年，圣彼得堡发生了一场大火灾，欧拉的书籍、资料和大量研究成果都化为灰烬。一位仆人冒着生命危险将他从火海中救出。之后，在一次失败的手术后，欧拉差不多变成了全盲，但这仍未减缓他的工作速度。他的学生和儿子担任他的助手，秘书则协助抄录工作。欧拉的记忆力惊人，他能记得黑板上冗长且复杂的数学运算；他的心算能力也高人一等，常能凭借心算来更正别人笔算的错误。1772年，欧拉双目失明，却仍证明出2-1为一质数，而此为一十位数。在他完全失明之前，已能用粉笔在黑板上盲写公式，助手摘抄下来，他再口述一些对公式的说明。因此，欧拉完全失明以后，他的产量没有降低，他几乎一半的著作是在1766年以后完成的。1773年，欧拉的第一任妻子柯黛琳娜去世。之后欧拉再婚，他的第二任妻子是柯黛琳娜同父异母的妹妹。第二次在圣彼得堡时期可能是欧拉一生最多产的一个时期，他共发表400多篇作品，它们不仅涉及已提到过的每一个论题，还进入了几何学、概率论和统计学、制图学，甚至是寡妇抚恤基金和农学。在大量作品中，出现了3部有关代数学、月球理论和造船科学的重要专著，及有关数论（E792）、自然哲学（E842）、屈光学（E845）等重要论著的片段。这段时期，欧拉完成的著作包括：三册光学的书（1769-1771）、三册积分学的书（1768-1770）、两册由他口授并由男仆抄录的代数学书籍（1770）、一册775页关于月球运转的书、一册海军学生手册（1773）、一册建立保险原理的重要书籍（1776），其中那册775页关于月球运转的书在发表后的长达100年时间内仍未被完全理解。从1738年到1772年，欧拉共12次获得巴黎科学院的奖金。1783年9月18日下午，为了庆祝计算气球上升定律的成功，欧拉请朋友们吃饭。他刚写出计算天王星轨道的要领，在和孙子逗笑时，突发疾病去世。

指数常数“e”是一个超越数，也是一个无理数，可以舍入为2.71828，它被定义为自然对数函数的底。e也被称为欧拉数，因为欧拉是首个将其本质研究透彻的学者，因此用他名字的首字母命名。尽管欧拉很早就使用这个符号，但它第一次公开出现是在他1736年的著作《力学》中。

1734年，欧拉使用f（

）表示

+c的函数。这是数学史上首次使用f（x）表示函数，且一直沿用至今。

1736年，欧拉将表示圆周率的希腊字母π推广使用，该符号是1706年由琼斯在《数学新导论》中首次使用。

欧拉还引进了求和符号

、虚数单位i等，对分析表述的规范化起到了重要作用。

莱昂哈德·欧拉是数论的创始人，在他的数学及其应用各分支的756篇论文中，大约100篇是关于数论方面的。这些论文在1849年被翻印成拉丁文版《算学全集》（《Commentationes arithmeticae collectae》），分为二卷。

17世纪中叶，法国数学家费马提出：如果p是素数，a是正整数，且gcd（a，p）=1，则a=1(mod p)。该定理被称为费马小定理。1736年，欧拉首先引进了重要的欧拉函数φ(n)，然后用多种方法证明了费马小定理，于1741年发表。

1737年，欧拉在研究无穷级数和无穷乘积的收敛性时，第一次把分析学与数论关联起来。

大约1637年，费马提出猜想：当整数n>2时，关于x、y、z的方程

+

=

没有正整数解。该定理被称为费马大定理。1753年，欧拉在给哥德巴赫的信中证明了n=3时的费马猜想。1770年，他的证明发表在《代数指南》书中，方法是“无线下降法”和形如

数系的唯一因子分解定理，该方法多次被后人引用。

欧拉还有整套的论文是关于素数平方剩余论的。他提供了平方剩余的判别法，即“欧拉判别法”。

欧拉首先把解析方法应用到数论的研究中，例如：在推导公式

（n）=

（n-1）+

（n-2）-

（n-5）-

（n-7）+

（n-12）+

（n-15）-

（n-22）-…时，

（n）表示数n的所有约数之和，而各减数1、2、5、7、12、15，…适合公式

，同时，右边的多项式一直加到n-x变成负数之前为止，并认为

（0）=n。

欧拉所著的《无穷小分析引论》（两卷，1748出版）是第一部突出函数概念的著作，欧拉把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式。他概括了多项式、幂函数、对数表达式和三角表达式，并定义了多元函数。欧拉认为，代数函数中只有自变量之间的代数运算，而代数运算则分两类：只包含四则运算的有理运算和还包括开方的无理运算。

欧拉写的数学名著《无穷分析引论》

积分作为原函数的概念是欧拉创建的基本概念。欧拉通过他的《微分学原理》（1755出版）《积分学原理》（三卷，1768-1770出版）等著作，把前人的发现加以总结定型并注入他的见解。例如：欧拉首创了对函数logx与

的现代讲法，并发现logx是无穷多值的；他导出了三角函数和指数函数之间联系的著名公式

=

+

。

欧拉首先把导数归作为微分学的基本概念，他提了二阶偏导数的演算，并给出了关于微分后的结果与微分次序无关的理论（但未给出证明），他研究二元函数的极值，给出了全微分的可积条件，并确定未定式

、

-

的极限运算规则。

1735年，欧拉定义了微分方程中的欧拉-马歇罗尼常数，他也是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一，这一公式在计算复杂的积分、求和与级数的时候极为有效。

如今在微积分教学中的方法与技巧，几乎都可以在欧拉的作品中找到。他发展了定积分理论，并演算了大量的广义积分，如

，从而奠定了

函数与

函数的理论基础。欧拉提出了积分因子的概念，并确定了可采用积分因子的方程类型，证明了凡是可用分离变量求解常系数一般线性方程的问题。

18世纪，东普鲁士首府哥尼斯堡被普莱格尔河横贯，这条河有两条支流，在城中心汇成大河，河中央有一座小岛，有七座桥把岛和河岸连接起来。人们产生了一个问题：能否一次走遍七座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起点？这就是七桥问题。1736年，欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，他将此问题转化成一个几何问题——一笔画问题，他不仅解决了问题，还给出了连通图可以一笔画的充要条件：奇点的数目不是0个就是2个。在解答七桥问题的同时，欧拉开创了数学的一个新分支——图论与几何拓扑。

欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题, 开创了图论

欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为仅包含点、线的拓扑结构

1750年，欧拉发现，任何一个凸多面体，如果有n个顶点、m条棱和f个面，则有n-m+f=2.这个公式可以推广到平面图上，称为欧拉公式。

1765年，欧拉证明了三角形的重心、外心和矩心是共线的，位于“欧拉线”上。

红线为欧拉线

1729年，欧拉出版了《音乐新理论的尝试》（Tentamen novae Theoriae Musicae），这本书被认为是写给精通数学的音乐家和精通音乐的数学家的。书中提出了一个“调性网络”（Tonnetz）问题：从音程来说，F到C，C到G，G到D都是五度，C到下方A是三度，A到E也是五度。这样一来，十二个音符都有了位置，它们不再是一维的性状，而展现了平面关系，这些音符不能遍历。

调性网络

在力学中，欧拉继承和发展了丹尼尔·贝努利的流体力学成就，进一步奠定了流体力学的理论基础，他所著的以流体力学与船舶力学相结合的论文《论船舶的左右及前后摇晃》获得了巴黎科学院奖金（1759）。在光学方面，欧拉完成了折射望远镜、反射望远镜及显微镜的许多计算问题，推动了几何光学的发展。并且在物理光学方面，欧拉是十八世纪坚持光的波动说的主要代表人物之一。

1748-1752年，欧拉创立了任意常数变易法，因此诞生了分析天体力学。1753年，他创立了较完整的月球运动理论。因为月球同时受到地球、太阳和大行星的作用，它的运动非常复杂，不完全符合开普勒定律。1766年，欧拉的《月球运行表》出版，1772年，他的《月球运动理论》修订再版，并附加更精密的月球运行表。

欧拉在统计学领域也作出重要贡献。1760年，欧拉曾对人类死亡与增殖数量进行研究并发表文章，他是在人口统计方面第一次企图通过编制死亡率表来对人口变动进行考察的人。他还为法国统计学家苏斯密尔西（Johann P·Sussmilch，1707-1767）研究人口统计问题提供帮助。1776年-1783年，欧拉曾写过几篇关于保险统计和年金计算方面的文章，他认为保险统计和养老金的计算最好通过编制生命表来进行。

欧拉在概率论和有关机遇游戏的概率计算方面也有很多贡献。在柏林科学院期间，他先后发表了《关于机遇游戏和概率计算》《抽彩中的顺序概率》《对概率计算中一些非常困难问题的解法》等文章，他在文章中的讨论对概率论的发展和在统计学方面的应用起了开拓和促进作用。

1782年，欧拉发明了“拉丁方”的概念。当时普鲁士国王腓特烈要举办阅兵式，计划从6支部队中各选6名官兵，组成36人方队作为先导部队。组队要求各队的6名官兵分别是少尉、中尉、上尉、少校、中校、大校各一，且36人方阵中每行、每列都有各部队、各级别官兵各一人。欧拉用拉丁字母A、B、C代表不同部队，希腊字母

、

、

代表不同级别官兵，然后将这些字母填进九宫格。后来人们称它为“希腊·拉丁方”，简称“拉丁方”。有人认为，拉丁方是数独的雏形。

拉丁方

在经济学方面，欧拉得出结论：如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量，在固定规模报酬的情形下，总收入和产出将完全耗尽。

欧拉虽不是教师，但是他的教学影响超过任何人。身为世界第一流的学者、教授，欧拉肩负着解决高深课题的重担，并热心于数学的普及工作。他的著作《无穷小分析引论》《微分学原理》《积分学原理》产生了深远影响。有的学者认为，自1784年以后，初等微积分和高等微积分教科书基本都是抄袭欧拉的书，或是抄袭那些抄袭欧拉的书。欧拉编写过大量中小学教科书，他写的初等代数和算术教科书考虑细致，叙述有条理，使这些书严密又易于理解。欧拉曾花二十多年研究变分法，在研究接近尾声、且大批论文也整理完毕之时，他发现年仅23岁的拉格朗日在某方面有创新见解，于是他压下自己的论文，去帮助那位青年，继而使变分法创始人的荣誉归拉格朗日所有。

数学家纽曼（Newmann，J.R.）在1956年评价：欧拉是数学家之英雄。数学家、天文学家拉普拉斯（P.S.Laplace）说：读读欧拉，他是我们一切人的老师。这个世界上所有的人都将记住他，并以他为荣。法国数学家孔多塞（Condorcet）评价：他的成就不是完全由论文所反映的。美国数学家克莱因（Kline）评价：没有一个人像他那样多产，像他那样巧妙地把握数学；也没有一个人能收集和利用代数、几何、分析的手段去产生那么多令人钦佩的成果。他是顶呱呱的方法发明家，又是一个熟练的巨匠。德国数学家高斯（Gauss）评价：学习欧拉的著作乃是认识数学的最好途径，没有什么别的可以代替它。法国天文、物理学家阿拉哥评价：欧拉对于计算好像一点也不费力，正如人呼吸空气，老鹰乘风飞翔一样。俄国数学家卢津评价：欧拉天生的一个突出特点：他从不走捷径进行创造性的研究，他总是带着发狂一般的热情把整个身心奉献给某项研究工作，他的天才表明他的能力是出类拔萃、非凡绝伦的。瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber评价：没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。中国科学院数学与系统科学研究院研究员李文林评价：在数学和物理的很多分支中到处都是以欧拉命名的常数、公式、方程和定理，他的探索使得科学更接近我们现在的形态。

莱昂哈德·欧拉的父亲保罗·欧拉（Paul Euler）是一位基督教新教的牧师，毕业于巴塞尔大学神学系。他非常喜爱数学，在大学时常去听雅科布·伯努利（Jacob Bernoulli，又名James Bernoulli，1654-1705，瑞士数学家）的数学讲座。1706年，保罗与另一位牧师的女儿玛格丽特·勃鲁克（Margarete Brucker）结婚。第二年，欧拉出生了。1708年，保罗居家搬迁至巴塞尔附近的村庄——里亨（Riehen），在这里，欧拉度过了他的童年时光。在莱昂哈德·欧拉小时候，父亲曾教他一些基本的数学，之后又为他请了一位私人教师。本来父亲希望欧拉学习神学，由于欧拉的才能和异常勤奋的精神，同时受到约翰·伯努利（Johann Bernoulli，又名John Bernoulli，1667-1748，瑞士数学家）的赏识，并在19岁因一篇关于船桅的论文而获得巴黎科学院奖的奖金，于是父亲就不再反对他攻读数学了。

柯黛琳娜·葛塞尔（Katharina Gsell）是一位移居俄国的瑞士画家的女儿。1734年，欧拉和她结为夫妇。1773年，陪伴了欧拉40年的妻子卡塔琳娜·葛塞尔去世。后来，欧拉再婚，他的第二任妻子是柯黛琳娜同父异母的妹妹。他和两任妻子一共养育了13个孩子。欧拉喜欢和孩子们做游戏，并念书给他们听，甚至抱着孩子进行数学研究。由于当时的环境因素，其中8个孩子因各种疾病而早年夭折了。

约翰·伯努利（Johann Bernoulli，又名John Bernoulli，1667-1748）是瑞士数学家，出生于巴塞尔，青年时期经商，后来在他的哥哥雅科布·伯努利（Jacob Bernoulli，又名James Bernoulli，1654-1705，瑞士数学家）的指导下研究数学，并学习医学。约翰·伯努利在27岁时获得巴塞尔大学博士学位，不久后他爱上了微积分学。他在28岁时担任了荷兰格罗宁根大学数学物理教授，在哥哥雅科布·伯努利去世后，他继任巴塞尔大学数学教授达43年之久，还被选为彼得堡科学院名誉院士。约翰·伯努利是位多产的数学家。在几何方面，他给出了空间坐标定义，曾研究过多种特殊曲线，建立了焦散曲面；在力学方面，他提出了所谓虚拟速度原理，对光学中的反射和折射研究颇多。欧拉在巴塞尔大学就读神学和希伯来语时，约翰·伯努利任该校数学教授。他每天讲授基础数学课程，同时还给一些有兴趣的高材生开设更高深的数学、物理学讲座，欧拉是约翰·伯努利最忠实的听众。欧拉的数学天赋引起了约翰·伯努利的注意，于是他决定每周单独给欧拉上一次课。最终，约翰·伯努利说服了欧拉的父母：这个孩子的数学天赋远超他做一个牧师的潜力。

约翰·伯努利

在俄国生活了30多年的欧拉，创立了俄罗斯第一个数学学派——欧拉学派，培养了一大批优秀的俄罗斯青年数学家。在许多前苏联和俄罗斯的书籍里，欧拉都被称为是“伟大的俄罗斯数学家”。1957年，为了纪念欧拉诞辰250周年，前苏联发行了印有欧拉头像的邮票。

前苏联于1957年发行的邮票

欧拉诞生在瑞士，虽然成年后一直生活在圣彼得堡和柏林，但他的肖像仍出现在瑞士法郎上，与英镑上的牛顿一起成为至今仍流通欧洲的纸币上仅有的两位科学家。

印有欧拉肖像的瑞士法郎

1957 年，瑞士为纪念欧拉诞生 250 周年而发行了邮票，上面出现了欧拉公式：e=cosφ+isinφ。

1957年瑞士发行的欧拉250周年诞辰纪念邮票

2007年，瑞士发行了新的纪念邮票，纪念欧拉诞辰300周年。

2007年瑞士发行的欧拉300周年诞辰纪念邮票

为了纪念曾经生活在德国的欧拉，德国曾于1950年, 1957年, 1983年分别发行了纪念邮票。

民主德国于1950年发行的欧拉纪念邮票

德国于1957年发行的欧拉纪念邮票

前东德发行的欧拉逝世200周年纪念邮票

2013年4月，在欧拉去世300多年后，谷歌公司将其搜索引擎的主页换上了欧拉的公式元素，以此来纪念他的成就。

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