曲面

曲面（camber）可以看作空间满足一定条件的点的几何轨迹。如果曲面与方程F(x,y,z)=0满足：①曲面上每一点坐标都满足方程F(x,y,z)=0；②以满足方程F(x,y,z)=0的解为坐标的点都在曲面上，则称F(x,y,z)=0为曲面的方程，而称曲面为此方程的图形。曲面还可以使用参数方程进行表示。

简史

起源与早期进展

曲面的历史可以追溯到古代文明时期，阿波罗尼亚在总结前人的成就的基础上，再加上自己的研究成果撰写了《圆锥曲线论》8大卷，对于圆锥曲线的研究取得了一定得成就和造诣。古希腊数学家阿基米德（Archimedes）用穷竭法结合力学原理得出并证明了各种复杂的平面曲线围成的面积和各种曲面的面积及其所围成的体积，如抛物线弓形的面积、螺旋线下的面积，球和椭球的表面积与体积，以及圆锥曲线（椭圆，抛物线，双曲线）的旋转体的截体表面积与体积等计算公式。其在曲线的研究中取得了重要进展，他对抛物线和螺旋线的研究为曲面的理论打下了基础。

曲面理论的独立发展

到18世纪中叶，微分法和积分法得到充分发展，从那时起已经开始了对曲线和曲面理论的本质问题的研究。虽然空间中的曲线和曲面的许多问题与平面曲线相似，但深入研究后，它们逐渐超越了分析学在几何的简单应用，形成了独立的曲线和曲面理论。18世纪后半叶，欧拉（Euler），蒙日（Monge）等数学家参与相关研究，其中欧拉被认为是曲面理论的创立者，并引入平面曲线的内在坐标和曲率概念。欧拉还深入研究了测地线，1736年证明了在无外力作用下，质点在曲面上的匀速运动必然沿测地线进行。这些工作对曲线和曲面理论的发展产生了深远影响。

欧拉

曲面理论的进一步发展

1827年，高斯（Gauss）发表的《关于曲面的一般研究》奠定了曲面微分几何的基础，他发展了曲面理论的普遍方法和问题，并致力于全新的探讨与研究。他建立了由第一基本形式决定的曲面内在几何，并强调了用参数形式描述曲面的重要性。此外，高斯首次认识到曲面面积与球面对应区域面积之比的极限重要性，并用它表示曲面在一点的曲率。这些贡献对微分几何的发展有深远影响。

高斯

对于微分几何的进一步发展，伟大的数学家波恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）作了开创性的工作。黎曼在1851年的博士论文及阿贝尔函数的研究中指出，研究函数不可避免地需要依赖于位置分析学的一些定理。按照现代拓扑学的观点，黎曼实际上已经对闭曲面按亏格分类。值得一提的是，他在学位论文中提出的关于某些函数的全体构成连通闭区域（空间点）的思想，是泛函思想的早期体现。实际上，在黎曼博士论文发表之前，组合拓扑学已有一些零散的研究成果，如欧拉关于闭凸多面体顶点、棱、面数之间关系的著名定理、哥尼斯堡七桥问题和四色问题，这些问题激发了对组合拓扑学（当时称为位置几何学或位置分析学）的深入研究。然而，拓扑学研究的最大推动力来自于黎曼在复变函数论领域的工作。黎曼在1854年的演讲中，将曲面视为独立的几何实体，而非仅作为欧氏空间中的实体。他认识到曲面上的二次微分形式（即黎曼测度）是外加的结构，而非固定属性。这一发现开创了黎曼几何，为微分几何的进一步发展奠定了基础。后续数学家如李西等人进一步丰富了经典黎曼几何的内容。

波恩哈德·黎曼

定义

如果曲面

与方程

满足：①曲面

上每一点坐标都满足方程

；②以满足方程

的解为坐标的点都在曲面

上，则称

为曲面

的方程，而称曲面

为此方程的图形。曲面

可以看作空间满足一定条件的点的几何轨迹。

示意图

第一基本形式

给出曲面

上的曲线

：

，对于曲线有

，若以

表示曲面上曲线的弧长，则：

，令

，

，

，则有

，该式子是关于微分

的一个二次形式，称为曲面

的第一基本形式。用表示

，即

。

第二基本形式

设曲面

：

，其单位法向量为

。定义曲面的第二基本形式为

。定义

，

，

。此时第二基本形式可表示为

。曲面第二基本形式它反映了曲面在空间中的形状。

曲面的参数表示法

给出平面上一初等区域

，

中的点的笛卡儿坐标是

，

经过映射

后的曲面是

。则对于空间的笛卡儿坐标系，

上点的坐标是

，

具体的解析表达式为：

，

。该式子称为曲面

的参数表示或参数方程。

和

称为曲面

的参数或曲纹坐标。参数方程习惯上写为：

，

。简写成向量函数的形式

，

。

性质

切平面

过曲面上一点的坐标曲线的切向量

和

所决定的平面，称为曲面在该点的切平面。设

表示切平面上的任意点的向径，则曲面在

点处的切平面方程是：

，即

，其中

，

，

。

法线

曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为法方向。法线方程为：

，其中

是法线上的任意一点，

是决定点

在法线上位置的参数。

主方向

曲面上一点

的两个方向，如果既正交又共轭，则称为曲面在

点的主方向。设两个主方向是

，

，由于正交性，有

，由于共轭性有

；两式消去

可得

。对于特殊参数表示

，令

，则上式子为

。可知主方向为

，曲面上一曲线，若每一点的切方向都是主方向，则称为曲率线。

曲率

法曲率

曲面在已知点邻近的弯曲性可以由曲面离开它的切平面的快慢来决定。但曲面在不同的方向弯曲程度不同，就需要用曲面上过该点的不同曲线的曲率来刻画曲面在已知点邻近的弯曲性。给出

类曲面

：

，过曲面

上点

的任一曲线

为：

，

。以

表示曲线

的主法向量

和曲面法向量

的夹角，

为曲线

在

点的曲率，可导出

，曲面在给定点沿一方向的法曲率

定义为：

。若设

，则

称为曲线

的曲率半径，

为法曲率半径。

主曲率

曲面上一点处主方向上的法曲率，称为曲面在此点的主曲率。主曲率也是曲面上一点处沿曲率线方向的法曲率。在曲面上一点，法曲率随着方向而变化。由欧拉公式

，可以证明主曲率是法曲率的最大值和最小值。通过欧拉公式，只要知道了主曲率，则任意方向

的法曲率就可以由

和主方向之间的夹角

来确定。设

为曲面上一点的两个主曲率，则

。

高斯曲率与平均曲率

两主曲率的乘积称为曲面在该点的高斯曲率，用

表示。它们的平均数为曲面在该点的平均曲率，即：高斯曲率：

；平均曲率：

。

曲面一点邻近的结构

曲面在一点

的杜邦指标线可以反映该点邻近的结构。高斯曲率

的符号由

来确定，从而

反映了曲面每一点邻近的情况。

椭圆点

或

，此时主曲率

同号。适当选取曲面的法向量

，只考虑

和

都大于零的情形。由欧拉公式

，曲面在任意方向的法曲率都大于零；曲面沿所有方向都朝同一侧弯曲；曲面在椭圆点邻近的形状近似于椭圆抛物面。

椭圆抛物面

双曲点

或

，这时主曲率

异号。适当选取曲面的法向量

，对应于主方向的两条法截线中有一条朝

的反向弯曲，另一条朝

的正向弯曲。曲面在双曲点邻近的形状，近似于双曲抛物面（马鞍面）。

双曲抛物面

抛物点

或

，这时主曲率

中至少有一个

。对于平点

，

。

相关计算

第一型曲面积分

定义

设曲面

为光滑的，函数

在

上有界，把

任意分为

小块

，并且

也代表第

小块曲面的面积，设

为

上任意取定的一点，作乘积

，并作和

，若当各小块曲面的直径的最大值

时，该和的极限总是存在，则称此极限为函数

在曲面

上的第一类曲面积分(或对面积的曲面积分)，记作

，即有

，其中函数

叫做被积函数，

叫做积分曲面，

称为被积表达式，

称为曲面的面积元素，若曲面为闭曲面，则曲面积分可记作

，若

在曲面

上连续，那么

一定存在。

计算

如果光滑

由直角坐标方程

给出，

在平面

上的投影区域为

，则曲面

的面积元素为

，当函数

在

上连续，则它在

上的第一型曲面积分存在，且

。同理，如果曲面可用方程

或

表示，则

，

。

第二型曲面积分

定义

设为光滑的有向曲面，函数

在

上有界，把

任意分成

块小曲面

（

同时也表示第

小块曲面的面积）在

面上的投影为

，

是

上任意取定的一点，如果当各小块曲面直径的最大值

时

总存在，且与分割和

的选取无关，则称此极限为函数

在有向曲面

上对坐标

的曲面积分或第二型曲面积分，记作

，即

，其中

叫做被积函数，

叫做积分曲面。类似地有

;

。

计算

设积分曲面

由方程

给出，

在

面上的投影区域为

，函数

在

上具有一阶连续偏导数，被积函数

在

上连续，则有

，其中当

取上侧时，积分前取“+”；当

取下侧时，积分前取“-”。

分类

按照曲面方程的性质分类

如果曲面的方程是代数方程（即可以化为变数是

的多项式等于零的等式），那么这个曲面就叫做代数曲面，方程的次数叫做代数曲面的次数，非代数曲面叫做超越曲面。代数曲面的方程可以写作

，其中

是正整数或零；且

至少有一个非零，

的最大值就是它的次数，

次代数曲面简称

次曲面。一次曲面方程的普遍式是

。

按照母线的形状分类

按照母线的形状不同，曲面可划分为直线面和曲线面两类。由直母线运动而成的曲面称为直线面，如圆柱面、锥面、椭圆柱面、椭圆锥面、扭面(双曲抛物面)、锥状面和柱状面等。其中，圆柱面和圆锥面称为直线回转面。由曲母线运动而成的曲面称为曲线面，如球面、环面等。其中，球面和环面称为曲线回转面。

常见曲面

球面

空间中与某个定点的距离等于定长的点的轨迹为一个球面，定点称为球心，定长称为球的半径。设定点为

，定长为

，

是球面上任意一点，则

，即

，反之，若

的坐标满足该方程，则总有

，所以此方程以

为球心，以

为半径的球面方程。

球面

旋转面

由一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫作旋转曲面。旋转曲线称为旋转面的母线，定直线叫作旋转曲面的轴。设有

面上的曲线

则（1）曲线

绕

轴旋转产生旋转面方程为

，其中“

”号由

中

所允许的符号而定。（2）曲线

绕

轴旋转产生旋转面方程为

，其中“

”号由

中

所允许的符号而定。关于

面或

面上的曲线绕其所在坐标面上的坐标轴旋转产生旋转面完全类似。

柱面

平行于定直线

并沿定曲线

移动的直线

所形成的轨迹称为柱面，其中曲线

称为柱面的准线，动直线

称为柱面的母线。圆柱面：

，椭圆柱面：

，抛物柱面：

。

椭圆柱面

锥面

在空间，通过定点

且沿着定曲线

移动的动直线

所产生的曲面称为锥面，定点

叫做锥面的顶点，定曲线

叫做锥面的准线，移动中的每一条动直线

叫做锥面的母线。设锥面的准线为

顶点为

。在准线

上取一点

，则过

的锥面的母线为

且有

当

取遍

上的点，由上式消去参数

，而得到锥面方程

。

锥面

直纹面

由依赖于一个参数

的一族直线

所产生的曲面

，使得对每个

，都有

，并且

上的每一点也都在直线族

中的某一条直线上，则称

为直纹面。直纹面上的每一条直线称为母线。

拓扑学研究

定义

设

是一个仿紧的Hansdorff空间，若对任意

，存在开邻域

，使得

同胚于

中的一个开集

，则称

为一个

维(拓扑)流形，一个2维流形也称为曲面。

曲面的拓扑性质

性质1：一曲面称为连通的，若对

的任两点

，存在

中从

到

的曲线段。性质2：曲面

是可定向的如果

上存在一处处非零的可微(连续)

形式。性质3：

中一闭曲线

同伦于常曲线，若存在

线段

定义在

上，使得

是

的底曲线，而其他三边是在

的常曲线，这里的

称为一同伦。能使得

，但未必有

的曲线

，称为在

的一环路。由于

的边

和

是在

的常道路。所以，对于任意的

，

参数曲线

也是在

的环路。当

从0变到1时，环路

从

连续的变到

，而

是在

的常道路。性质4：曲面

称为单连通的，若它是连通的，且

中的每一环路同伦于常道路。

应用领域

建筑学

曲面在建筑学有着广泛的应用，例如，三周期极小曲面（triply periodic minimal surfaces，TPMS）是一类特殊的曲面，也是存在于自然界中的一类结构，其可用于桁架结构的设计，利用三维静力平衡，通过控制标准立方体的细分方式（六面体或四面体细分），构建受力图与结构图的对偶关系。通过将受力图中的封闭单元和内部面分别对应于结构图的节点和边，从而得到如图所示杆状结构近似表达的 TPMS 结构。该方法同样适用于变形的六面体单元。

稀疏细分得到杆结构单元

机械学

曲面在机械学中有着广泛的作用，例如，主动式曲面打磨技术，只需要3~4遍即可完成岔区钢轨的廓形打磨，通过磨石砂轮和纸砂轮的配合使用，可对道岔打受限区进行贯通打磨，显著提高岔区的动态平顺性。

曲面打磨车配备砂轮（最左侧为纸砂轮,其余为磨石砂轮）

工程学

曲面在工程学中有着广泛的作用，例如NURBS曲面在舰船垂向参数设计中具有重要的应用。首先通过NURBS曲面进行船体主尺度的计算，再利用NURBS曲面的控制点信息和三角面方程，通过约束条件得到船体各舱室的锤向参数以及结合船体曲面特征，然后对首位轮廓线控制点的参数和最大横剖面的参数进行分析，通过研究能发现船体各舱室的重向参数之间存在几何上的耦合关系，结合上述方程式，垂向参数和横向线条曲线间的几何关系可通过NURBS曲面进行表达，因此可利用NURBS曲面生成船舶垂向参数曲面。

船体曲面特征线

注释

展开[a]通过曲面上一点P可作无数多条法截线，取点P为原点，曲面S的坐标曲线在P点的切向量ru和rv为基向量，则它们构成曲面S在P点切平面上的坐标系，若给出曲面S在P点的一个切向量(d)=(du∶dv)，设Kn是对应于方向(d)的法曲率，|1/Kn|为法曲率半径的绝对值，过点P沿方向(d)(即dr=rudu + rvdv)画一线段PN，使其长度等于根号下|1/Kn|，则对于切平面上所有的方向，N点的轨迹称为曲面在P点的杜邦指标线。

参考资料

展开

该页面最新编辑时间为 2024年7月21日