广义相对论

广义相对论（英文名General Relativity）是描述物质间引力相互作用的物理理论，这一理论是狭义相对论的推广，也是牛顿引力理论的进一步发展。1915年11月，阿尔伯特•爱因斯坦(英文名Albert Einstein)完成了广义相对论，并于1916年将其正式发表。在广义相对论中，引力作用被表现为一种几何效应，即时空的弯曲，其包含的两大核心思想为等效原理与广义相对性原理，并以此为基础发展出了爱因斯坦场方程，该方程描述了物质如何弯曲时空，时空如何反作用于物质，方程的左侧描述了时空的弯曲程度，方程右侧与物质能动张量成正比，即这代表着时空的曲率与存在的任何物质和辐射的能量和动量直接相关，该关系由爱因斯坦场方程（一个二阶偏微分方程系统）指定。

1687年，艾萨克•牛顿（英文名Isaac Newton）出版了《自然哲学的数学方法》，对其万有引力理论进行了详细的描述。其万有引力定律表示为任何两个质量分别为

、

的质点都存在通过其连心线方向上的相互吸引的作用力，其引力的大小与二者的质量的乘积成正比，并与它们之间的距离成反比，与两个物体的化学组成与介质种类无关。牛顿认为存在一个绝对时空，并将惯性系定义于绝对时空中，万有引力定律理论为天文学家预测行星的运动提供了精确的手段。虽然万有引力定律在弱引力场里得到了非常重要的应用，但它仍存在着严重的问题，如水星的轨道进动量与牛顿理论预测不一致。

1883年，马赫(英文名Ernst Mach)从哲学思辨的角度对牛顿的“水桶实验”解释进行评判，马赫认为不存在绝对时空，所有的运动都是相对的，他认为惯性力起源于受力物体相对于宇宙中遥远星系的加速运动，换言之，物体的惯性是宇宙中远场物质对受惯性力物体的引力作用的总和。马赫原理突破了牛顿的绝对时空观，并试图解释惯性、惯性力的来源，同时在马赫的思路之下，惯性力与万有引力十分类似，都起源于物质之间的相互作用。爱因斯坦在发展等效原理思想的时候受到了马赫原理很大的启发，他猜测惯性力与万有引力之间存在更深刻的内在联系。

在牛顿力学中质量有两种定义。一种定义在万有引力定律，其中

称为引力质量，如下：

，其中

为引力，

表示万有引力常数，

与

表示产生引力作用的两个物体的质量，

为两个物体之间的距离。另一种定义在牛顿第二定律之中，其中

称为惯性质量，如下:

，1890年到1908年间，匈牙利物理学家厄缶涉及了一系列实验以验证引力质量与惯性质量相等，他的实验结果表明引力质量以

的精度与惯性质量相等。引力质量与惯性质量的等价性使爱因斯坦产生了对惯性力与引力之间的内在联系的猜测。

1905年，由于迈克尔逊-莫雷实验对“以太”存在性的否认等实验结果的出现，而牛顿经典力学无法解释这些实验结果，物理学家们不得不寻找新的理论来解释这些实验结果，出于对“同时性”的思考，爱因斯坦放弃了牛顿的绝对时空观，摒弃了“以太”的思想，发表一篇名为《论动体的电动力学》的文章，标志着狭义相对论的诞生。

狭义相对论的有两大基础原理：光速不变原理与狭义相对性原理。光速不变原理是指，光在真空中的传播速度为常数，与光源的运动无关。狭义相对性原理是指，在任何一个惯性系中物理定律所得的形式保持不变。在这两个基础原理之上，狭义相对论进一步发展出了“尺缩”“钟慢”等物理效应。

设一个光信号

,在相对静止的

参考系中的坐标为

，在同时从坐标原点出发，沿

系的

轴向右以速度

匀速运动的

参考系中的时空坐标为

。这两个坐标之间的变换关系为洛伦兹变换，在静止系

系中观察运动系

系，即用

系的坐标表示

系，称为正变换：

两个相对速度为v的参考系

反之，在运动系

观察静止系

，即用

系坐标表示

系坐标，称为逆变换：

爱因斯坦在发展狭义相对论时便已经深刻地理解到狭义相对论的不足，由于狭义相对论的理论建立在惯性系之上，但惯性系这个概念却难以定义，在牛顿力学中，可以将惯性系定义在绝对时空之中，相对于绝对时空静止或匀速直线运动的参考系都是惯性系，但在狭义相对论中摒弃了绝对时空概念，故无法定义惯性系。除了定义惯性系的困难之外，还存在万有引力困难，引力的来源问题仍然存在。牛顿认为万有引力作用是一种超距作用，暗示着引力的传播不需要媒介，也不需要花费时间，引力的来源是物质的质量，这与狭义相对论理论相悖，因此引力理论无法融入到狭义相对论之中，而麦克斯韦(英文名James Clerk Maxwell)的电磁理论完美地与狭义相对论相符合。出于这些考虑，爱因斯坦决定进一步发展狭义相对论理论来将引力理论试图融入到狭义相对论之中。

1907年，出于对引力与惯性力的深刻关系的思考，爱因斯坦提出了等效原理。1907年，爱因斯坦的大学时期的数学老师闵可夫斯基(英文名Hermann Minkowski)将爱因斯坦的狭义相对论以4维时空的形式重新描述了狭义相对论。这一概念在爱因斯坦发展广义相对论时起到了重要作用。根据爱因斯坦对惯性力与引力的思考，他猜测万有引力很有可能是一种几何力，基于对黎曼（英文名Georg Friedrich Bernhard Riemann）等人的工作的了解，1913年，他开始求助于自己的老友——苏黎世工业大学的数学系主任格罗斯曼（英文名Grosmann Marcell），从格罗斯曼处，爱因斯坦迅速地学习与掌握黎曼几何的基本知识。1915年11月25日，爱因斯坦完成了他的稿件并进行投稿，并发表年12月5日。在场方程的发展过程中，著名数学家希尔伯特（英文名David Hilbert）对于爱因斯坦的引力理论产生了浓厚的兴趣，在1915年，爱因斯坦与希尔伯特进行了多次交流，他们的交流帮助了爱因斯坦找到正确的场方程。希尔伯特在1915年11月20日也进行了投稿，但他在最初的文章中并没有给出正确的场方程形式，在阅读了爱因斯坦的文章之后，他才将正确的场方程形式加入他的文章之中。

广义相对论是描述物质间引力相互作用的物理理论。它以狭义相对论为基础，采用黎曼几何作为数学语言，利用几何语言来描述时空，并以等效原理、广义相对性原理为基本原理假设。广义相对论的核心理论内容为爱因斯坦场方程，该方程描述了物质与时空之间如何相互作用。

等效原理分为弱等效原理和强等效原理。弱等效原理：在无穷小的时空范围内无法用任何力学实验来区分引力场和惯性场。弱等效原理与“引力质量与惯性质量相等”是等价的，二者可以互相推出，由于

有很好的实验基础，因此弱等效原理有着很强的实验支撑。2022年9月，蔚蓝海岸天文台与MICROCROPE对弱等效原理的验证精度达到了

。强等效原理：在无穷小的时空范围内无法用任何物理实验来区分引力场与惯性场。将弱等效原理的力学实验拓展至任何物理实验，广义相对论是在强等效原理的基础之上建立的。等效原理揭示了在无穷小时空范围上引力与惯性力的潜在联系。我们可以将等效原理表示为在任意引力场中，在每一个时空点可以选取一个局部惯性系，使在引力场中该时空点的无穷小邻域内，自然规律的形式与没有引力场时的狭义相对论的表述形式相同。

为了说明等效原理，爱因斯坦设计了电梯思想实验，一个人处在一个密闭的电梯中。他的手上拿着一个苹果，并站在一个秤上。当电梯处于地球表面时，秤会显示他的重量，当他松开手，苹果就会自由落体坠落，重力加速度为a（如图1左所示）。如果电梯不在地球表面，而是在远离任何引力场的太空中，但由于电梯底部安装了动力装置，使电梯以一定的加速度a向上方运动，这时他也能感受到自身的重量且放下苹果后，他依旧会看到苹果会向下自由落体（如图1右所示）。他对于两种情况下的感知是相同的，并无法分辨出究竟是引力还是惯性力作用于自身。因此爱因斯坦认为局部上引力与惯性力是等价的。但是当电梯较大以至于电梯中不同区域的引力场有所差异，引力场中的人若在处处放置一个重力仪，便会发现引力的力线并不平行，而在无引力场中做加速运动的人测得的力线是平行的，由此可以将引力与惯性力区分。这也说明了等效原理仅在足够小的区域内是成立的。

左边表示电梯在地球表面静止，右边表示电梯在太空中加速上升

左边表示电梯在地球引力场中做自由落体运动，右边表示电梯在太空中做惯性运动

广义相对性原理又称广义协变原理，是狭义相对论中的狭义相对性原理的推广，其内容为：物理定律的形式在一切参考系都是不变的。广义相对性原理相对于狭义相对性原理，不再给惯性系这个参考系一个特殊的位置，而是说明所有的参考系之间都是平权的，这样便能解决如何定义惯性系的困难。这个原理本身并没有物理内容，因为任何一个只有将广义相对性原理与等效原理二者相结合才能拥有物理意义。

1907年，爱因斯坦的数学老师闵可夫斯基将爱因斯坦发表的狭义相对论整理成立4维时空的形式，采用四维的语言来重新描述了狭义相对论，在发展广义相对论时，他了解到了黎曼等人的数学成果，并在老友格罗斯曼的帮助下系统地钻研和学习了黎曼几何的基本知识，并利用黎曼几何的语言建立起了广义相对论，实际上，广义相对论使用的几何本质上是一种伪黎曼几何。

度规g是矢量空间V上的一个对称、非退化的（0,2）型张量，度规描述了一个时空的几何性质，在广义相对论中往往使用号差为+2的洛伦兹的度规，度规的重要作用是描述线元

，表示四维时空中无限靠近的任意两点间的间隔的平方，已知线元表达式便可以读出度规的全部分量。其中闵氏时空的线元表达为:

。

测地线方程又称短程线方程，它描述的是某度规描述的引力场中的粒子的自由落体时的运动方程，短程线可能是两点间最短的一条，也有可能是最长的一条。测地线的表达式为

其中

是由度规

及其一阶导数定义的联络符号。

爱因斯坦场方程是广义相对论的基本方程，也是广义相对论最重要的结果之一，它描述了物质如何决定时空的弯曲，而时空的弯曲又如何作用于物质。

地球引力场与其周围时空的弯曲

场方程的形式为

,其中

为里奇（Ricci）张量，是黎曼曲率张量13分量的缩并，

表示里奇标量，是里奇张量两个指标的缩并，

为万有引力常量，

表示物质的能量动量张量，用于表示物质的能量与动量。方程的左侧完全由时空的弯曲来决定，已知度规

则可以计算左侧的物理量，而方程的右侧则表示物质的运动状态。事实上，由爱因斯坦场方程可以推导出测地线方程，二者并不是独立的。

爱因斯坦场方程作为一个张量方程，其精确解的求解较为困难，往往人们会采用后牛顿近似、数值相对论等近似或数值方法利用计算机对复杂问题进行求解。

1916年，史瓦西计算出了爱因斯坦场方程的第一个精确解，这个解是一个球对称的静态真空解，球对称性质要求ds应该在坐标变换

与

保持不变，静态性质要求ds在变换

下保持不变。求解得到的线元表达式如下：

这个解描述的是球对称物体外部的引力场。在这个解存在两个奇点，一个为

处的本性奇点，另一个奇点为

,这个位置被称为史瓦西半径，这个位置的奇异性可以通过适当的坐标变换来消除，因此这个奇点的奇异性被称为坐标奇异性。值得注意的是，只有当星体的半径小于史瓦西半径时，这个奇点的性质才能凸显出来，这种密度惊人的星体被人们命名为黑洞。史瓦西半径内部的物理会与史瓦西半径外部有很大的区别，在史瓦西半径外部的区域是类空区域，有质量物体沿类空测地线进行自由落体，在史瓦西半径内部的区域是类时区域，有质量物体沿类时测地线运动，因此物体在坠入黑洞后无法逃脱。

恒星级黑洞系统示意图

1963年，新西兰物理学家克尔（外文名Kerr）找到了爱因斯坦场方程的一个解，由于天体可能存在湍流、表面隆起等现象，因此克尔解描述的是某一类自转的天体产生的外部时空几何，史瓦西解只涉及了天体的一个参数：质量M，而克尔解则涉及天体的角动量J与质量M两个参数，当这种外部时空满足克尔解的天体由于引力塌缩形成黑洞时，我们把这种黑洞称为克尔黑洞，且克尔黑洞依旧满足克尔解的表达式。克尔线元表达式如下：

与史瓦西黑洞中只存在一个奇点不同，克尔黑洞存在内外两个奇点，其产生的内外视界半径分别为：

1915年爱因斯坦发现了广义相对论，并在此基础上提出了四个预言，引力波的存在就是其中之一。通过对广义相对论进行线性微扰处理，将弯曲时空度规

写为平直时空度规

加上微扰

，即

，其中偏离平直情况的函数

很小。在广义相对论中，通常采用福克建议的谐和坐标条件，这个条件决定的时空坐标满足调和方程。谐和坐标条件的优点在于当引力场趋于0时，可以自动回归平直时空的惯性坐标系。可以通过场方程推导出在弱场线性近似理论下的场方程：

，其中

，

表示拉普拉斯算符，即

。该方程的解为

。这个方程的形式与麦克斯韦电磁场方程类似，它表示会有类似于电磁波的引力波的存在，且引力波传播速度为光速。当构成引力源的物质作非球对称运动时，引力源附近的时空弯曲情况将向四周传播，即引力波向四周传播。

100年之后，在2015年9月14日，美国的激光干涉引力波天文台（LIGO）在人类历史上第一次成功探测到了微弱的引力波信号。引力波的成功探测有着艰辛的历史，1969年，美国物理学家韦伯（外文名Joseph Weber）声称自己探测通过共振棒实验检验了引力波存在，但这个实验无法重复，因此无法证明其成果。于是在1987年，韦伯再次设计出一种天线来检验引力波，这种天线是一根圆柱形铝棒，如果引力波穿过其中，就会激发铝棒振动，并声称接收到的引力波来自超新星SN 1987A，但后来证明这是错误的。经过漫长的过程，LIGO于1994年开始于美国汉福德（Hanford）与利文斯顿（livingston）进行建设,并于2002年开始工作，经过两次关键性的升级，LIGO终于在2015年成功探测到了引力波信号。

双星系统产生的引力波信号

引力透镜效应指光线穿过大质量物体时周围时空会产生弯曲，使人们可以看到处于其背后的天体。1919年5月日全食时，科学家观测到太阳附近的恒星的轻微的错位，首次发现了引力透镜效应。1937年，瑞士天文学家扎维奇（外文名Fritz Zwicky）提出将整个星系团看做一个引力透镜，预测了星系团引力透镜的存在。42年后，天文学家沃尔什（外文名D. Walsh）、卡斯维尔（外文名R. F. Carswell）和威曼观测到了两个相同的类星体，而它原来是两个独立图像的一个类星体，首个河外星系引力透镜被发现了。

引力透镜效应示意图

中子星与黑洞作为宇宙中最致密的天体，广义相对论理论在这种天体的性质中起着极其重要的作用。在恒星演化的末期，恒星的核聚变燃料燃尽，其热压力无法抵御引力作用时，恒星便会在引力的作用下聚集。当一群电子或中子被压缩到非常小的空间里时，由于泡利不相容原理，继续压缩电子或中子所处的空间时就会需要更高的能量，这种对外的压强被称为“简并压”。当恒星内部电子的简并压大到足以抵御引力作用时，原恒星能够达到平衡，形成白矮星。当原恒星的质量在10个太阳质量以上，25个太阳质量以下时，此时恒星内部发生逆β衰变，中子产生简并以提供简并压，形成中子星。当原恒星的质量大于25个太阳质量时，电子简并压和中子简并压都无法抵御引力的作用，原恒星最终则会塌缩成黑洞。1939年，R. C. Tolman、J. R. Oppenheimer和G. M. Volkoff三人在广义相对论的框架下计算了基于理想中子气简并压和引力的平衡建立了第一个定量的中子星模型，即TOV方程，并得到了中子星内部的物质分布状况以及他的质量与半径。由于广义相对论中的球对称真空解即史瓦西黑洞解中存在奇点，1964年，英国物理学家彭罗斯（外文名Roger Penrose）开始思考奇点的问题，他抛弃了严格球对称的假设并发明了新的数学方法，利用拓扑学的知识证明了在广义相对论框架里，黑洞内部一定存在奇点。这一黑洞研究结果首次令人信服地证明了黑洞的存在是广义相对论的必然结果。根据广义相对论，两个天体相互绕转时会产生引力辐射，辐射的强度高度依赖于系统的致密性，因此双中子星系统、中子星-黑洞双星系统、双黑洞系统都是理想的引力波源。2015年9月14日，LIGO探测到的第一例引力波事件便是双黑洞并合事件。2017年8月17日，LIGO与Virgo首次探测到了来自于双中子星并合事件GW170817的引力辐射，同时天文学家们还观测到了对应的短时标伽马射线暴与千新星辐射，开启了多信使天文学研究的新时代。接着在2020年1月5日，LIGO探测到了首例中子星-黑洞并合事件GW200105。自此，LIGO引力波探测器探测到了三类致密双星系统并合事件。

中子星示意图

根据牛顿理论，太阳系中行星的运动轨道应该是一个严格的椭圆，且太阳位于椭圆的一个焦点上，然而根据观测，天文学家发现行星的运动轨迹并不是一个严格闭合的椭圆，行星每绕太阳公转一圈，其椭圆轨道的长轴都会有所转动，这一现象被称为行星轨道近日点的进动，进动的观测值为每一百年

,考虑到其他行星对于水星的影响，观测到的进动值仍比牛顿理论的计算结果高出

。而根据广义相对论对于牛顿引力的修正，其计算结果恰好比牛顿结果高出

。与实验上的观测结果相当吻合。

根据广义相对论，光线在引力场中会产生偏折现象，广义相对论中预言当光线经过太阳附近时，应向太阳偏折

。但这个偏折角度非常小，很难得到观测。1919年，利用日全食，英国天文学家爱丁顿领导两只远征观测队在西非和巴西进行了测量，测得的偏转角在

，与爱因斯坦的预言完全一致。

广义相对论认为光线在引力场传播时会改变频率，当光线从强引力场传播到弱引力场时会发生引力红移，反之，光线从弱引力场传播至强引力场中时会发生引力蓝移现象。在爱因斯坦的年代，太阳与地球之间的引力红移效应过于微小，很难得到实验检验。1925年，天文学家亚当斯（外文名John Couch Adams）观测了一颗白矮星天狼A，他测得的引力红移于广义相对论理论结果基本相符。地球所能产生的最大的引力红移为

，利用空间原子钟可以以更高的精度测量引力红移来检验广义相对论，最早于1976年美国开展了GP-A试验初步测试了引力红移。

1964年，夏皮罗（外文名Irwin Shapiro）提出用雷达回波延迟实验检验广义相对论的建议。从地球向某一行星发射一束雷达，雷达到达行星表面后会反射回地球，由此可以测出来回所需的时间，当光线在太阳附近传播时，由于太阳附近时空的弯曲，雷达经由太阳附近往返所需的时间会相较远离太阳附近传播的来回时间更长，即出现延迟效应。夏皮罗小组对水星、金星、火星进行了实验测试，实验数据与广义相对论的理论计算结果不确定度在1%左右。

2015年9月14日，激光干涉引力波天文台（LIGO）探测到了第一例引力波信号验证了强引力场下的广义相对论理论，这个信号是由双黑洞并合过程产生的，这也是地基引力波探测器的首次成功，标志着引力波天文学进入了新时代。

广义相对论在现代宇宙学的发展上扮演着极其重要的作用，广义相对论理论在宇宙学研究上取得了极大的成功。

暗物质（外文名Dark Matter）是一种因存在现有理论无法解释的现象而假想出的物质，它小于电子和光子，不带电荷，不与电子发生反应，是组成宇宙的重要组成部分。暗能量（外文名Dark Energy）是充斥在宇宙中的一种假象的能量形式，其压力表现为负压力，在推动宇宙加速膨胀的过程中起着重要作用。暗物质和暗能量的存在预示着物理学即将迎来新的革命，将对未来物理学与天文学的发展带来重要的作用。

当真空能与引力耦合时，需要在场方程中引入宇宙学常数项，宇宙学常数是量子涨落的结果，因此宇宙学常数应该与真空能量密度等价。根据量子理论，我们可以计算真空能量密度大小

，而观测得到的真空能量密度仅为

，二者相差120个量级，这一重大疑难还未得到解决，一些物理学家采用暗能量作为宇宙成分来代替宇宙学常数来解释观测结果。

量子场论是现代物理学最伟大的理论之一，其实验精度已达到小数点后12位，但是量子场论在非常短处积分时则会导致无穷大的出现，无穷大的问题一般而言很难得到解决，但物理学家发展出了重整化方法，利用这一方法可以将积分中出现的无穷大项消去。而量子引力则是困扰了人类几十年的科学前沿问题，量子引力是想要将量子场论与广义相对论相结合，即将引力场量子化。此前物理学家们已经将电磁场量子化发展出了量子电动力学，将弱相互作用力、强相互作用力、电磁力统一为了量子场论理论，但引力的量子化问题一直无法得到有效解决，重整化方法对于引力的量子化变得无效，物理学家只能选择通过发展弦论、超弦理论来尝试实现量子引力。广义相对论无法归结为杨-米尔斯型的规范理论，且广义相对论无法进行重整化，用于量子电动力学和杨-米尔斯理论的微扰技巧在引力的情况下无效。由于广义相对论存在奇点问题和不可重整化等问题，人们也开始从各种途径修改广义相对论，试图将引力理论纳入规范场理论之中。

广义相对论是关于宏观的时间、空间和物质运动的基础理论体系，它比牛顿力学和狭义相对论更深刻和普遍。100多年以来，广义相对论在天文学、宇宙学、黑洞、时空理论、引力理论等方面取得了重大应用，狭义相对论作为广义相对论的基础之一则更是精确而广泛地应用于物理学的各个领域中，对现代量子理论的发展起到了重要作用。广义相对论能够在天体演化、中子星黑洞等天体的形成、致密双星并合问题、量子引力、超弦、引力波等物理学最前沿问题中大展身手，虽然广义相对论理论仍存在不可重整化等问题，但可以预期，在未来，广义相对论仍将取得更加丰硕的成果，为后续物理学的发展起到不可估量的作用。