极限点

极限点（英语：Limit point）在数学中是指可以被集合S中的点随意逼近的点。这个概念不仅推广了极限的概念，而且是闭集和拓扑闭包等概念的基础。

定义

在拓扑空间中，点a称为集合E的极限点，如果a的任意去心邻域都与E有交集。更严格地说，设A为拓扑空间X的子集且x属于X，若所有x的开集也包含至少一个A内的非x的点，则称x为A的极限点。由A内所有极限点所组成的集合称为A的导集，标记为A'。在T1空间里，上述定义和要求x的每个邻域皆包含无限多个A的点是等价的。若X为序列空间，则可称x ∈ X为S的极限点，当且仅当存在一个由S \ {x}的点组成的ω序列，其极限为x。

特殊类型

如果包含x的所有开集都包含无限多个S的点，则x是特殊类型极限点，称为S的ω‐会聚点（ω‐accumulation point）。如果包含x的所有开集都包含不可数多个S的点，则x是特殊类型的极限点，称为S的缩合点（condensation point）。

会聚点

在度量空间中，ω‐会聚点与普通的极限点定义等价。在拓扑空间中，两者概念不再等价。对于非强拓扑空间，一个所有ω‐会聚点都属于本身的集合不一定是闭集，但一个所有极限点都属于本身（导集包含于自身）的集合必为闭集。

度量空间的聚集点

在带有度量函数d的度量空间X且有A⊆X和x∈X，若对所有ε>0，存在a∈A值使得0<d(x, a)<ε，也就是x可以被A里的点（以度量d的意义上）无限制地逼近。这样称x是A的聚集点（cluster point）或会聚点（accumulation point）。应用上，a为定义域的聚集点也是函数极限能在a上有定义的前提条件。