胡克定律

胡克定律（Hooke's law ），也称虎克定律，是一条经验定律，其表述为：固体材料受力之后，材料中的应力与应变(单位变形量) 之间呈线性关系，即

东汉的经学家和教育家郑玄（公元127-200）为《周礼·冬官考工记·弓人》一文中的“量其力，有三钧”一句作注解时，在《周礼注疏·卷四十二》中写到：“假令弓力胜三石，引之中三尺，驰其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。”  1678年，胡克定律是由英国力学家胡克(Robert Hooke， 1635-1703) 发现的。

罗伯特·胡克印象画

1678年，胡克发表了题为《Spring（弹簧）》的论文，它包含了胡克对于弹性体的实验结果。文章在描述他的实验时说：“取一根长20、或30、或40英尺的金属丝，把上端同钉子系牢，而下端系一弹簧秤以承受砝码。用两脚规量出自秤盘底至地面的距离，把这一距离记下来。再将若干砝码加到秤盘上，并顺序记下金属丝的伸长量。最后比较这些伸长量便可以看到砝码与砝码引起的伸长量彼此之间存在着同样的比例。”胡克一共用四种弹性物体来进行他的实验。除了金属丝之外还有： 一个轴铅垂的金属螺旋线，上端固定下端系秤盘和砝码，随着载荷增加螺旋成正比例地伸长。把一根钟表发条上紧成垂直的螺旋，内端固定，外端附着在一个与此发条同轴的轻巧的齿轮的轮毂上，后者盘绕着一根丝线，丝线的自由端悬吊一个很轻的秤盘，秤盘中加多大的砝码，这齿轮便旋转相应的角度。给干燥木质的悬臂梁的自由端加上载荷，挠曲变形呈现的结果符合该定律。起初，胡克在做实验的过程中，发现“弹簧上所加重量的大小与弹簧的伸长量成正比”，他又通过多次实验验证自己的猜想。1678年，胡克写了一篇《弹簧》论文，向人们介绍了对弹性物体实验的结果，为材料力学和弹性力学的发展奠定了基础。1680年，法国的马里奥特（E.Mariotte）也独立地提出了弹性体变形与所受外力成正比的定律。19世纪初，英国科学家托马斯·杨（Tomas）总结了胡克等人的研究成果，指出：如果弹性体的伸长量超过一定限度，材料就会断裂，弹性力定律就不再适用了，明确地指出弹性力定律的适用范围。后人为纪念胡克的开创性工作和取得的成果，便把这个定律叫做胡克定律。

胡克定律的内容是：在小变形情况下，固体的变形与所受的外力成正比。如每当金属丝上的拉力增加一倍时，丝的伸长也增加一倍，比例系数与材料性质有关。对于大多数固体，胡克定律与实际很相符合。 对于复杂的三向应力状态，有所谓广义胡克定律。它是原始定律的自然推广:当应变微小时，在物体给定点上的应力分量为该点应变分量的线性齐次函数。对于沿任何方向力学性质都相同的各向同性弹性体，与材料有关的独立弹性系数只有两个;对于一般的各向异性弹性体，独立的弹性系数达21个。若物体是不均匀的，则弹性系数是空间点的函数。 对于胡克定律，柯西（Cauchy）等科学家曾从分子、原子论和热力学理论来解释。

胡克于1678年根据实验结果提出，在小变形情况下，固体的变形与所受的外力成正比，这就是胡克定律，也可以表达为:在应力低于比例极限情况下，固体中的应变与应力成正比。将其推广到复杂的三向应力状态，就得到应力分量与应变分量之间的线性关系，称为广义胡克定律。该定律表述为，在小应变条件下，弹性固体任意一点处的应力分量为该点应变分量的线性齐次函数。弹性物体在连接载荷时纵向形变规律满足广义胡克定律，其纵向形变是视觉上可信的，绳索在悬挂载荷拉伸后，横向也应该对应发生形变。实际构件受力状态都比较复杂，应力往往是两向或三向的，这样的应力状态称为复杂应力状态。一个构件上任意一点的受力状态，可用其单元体上的 9 个应力分量表示，其张量表示为：

张量表示

（a）物体受力情况；（b）A点单元体的应力分量

对于固体材料来说受到外因之后都可以发生形变，此时在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置，在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力（σ），而变形的程度称应变（ε）。弹性阶段在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变ε成正比，即σ=Εε，式中E为常数，称为弹性模量或杨氏模量。E是材料本身的性质，与材料的宏观形状无关。事实上，除非弹性体的材料外，只要其在比例极限的范围内，都符合胡克定律。弹性极限范围应力超过比例极限后，应力与应变间成非线性关系。但拉力解除后，变形仍可全部消失，这种随着拉力的解除而消失的变形，即为弹性变形。其中保证只出现弹性变形的应力最高限值，称为弹性极限。在应用上，对比例极限和弹性极限有时不作严格区别。但超过弹性极限后，变形将进入弹塑性阶段。其中一部分是弹性变形，另一部分是塑性变形，即外力解除后不能消失的那部分变形。

在 SI 单位中，位移以米 （m） 为单位，力以牛顿为单位（N 或 kg·m/s）。因此，弹簧常数k和张量κ的每个元素以牛顿每米（N/m） 或千克每秒平方 （kg/s） 为单位进行测量。对于连续介质，应力张量σ的每个元素都是一个力除以一个面积;因此，它以压力为单位进行测量，即帕斯卡（Pa，或N/m 2，或kg/（m·s）。应变张量ε的元素是无量纲的（位移除以距离）。

线性弹簧是一种力和位移之间彼此成正比且具有线性关系的弹簧。显示线性弹簧的力与位移的图表将始终是一条具有恒定斜率的直线。非线性弹簧在力和位移之间具有非线性关系。显示非线性弹簧的力与位移的图表将比直线更复杂，且斜率不断变化。

（F : 力，单位为牛顿 (N)，x：距弹簧形变产生的位移，单位为米 (m)，k：弹簧刚度，单位为牛顿每米 (N/m)）这个方程模拟了弹簧的基本物理原理。力( F )与弹簧的位移( x )成正比，力的计算方法是将位移乘以弹簧常数( k )。

不同尺寸的螺旋金属弹簧

连续弹性材料的一般张量形式实际构件受力状态都比较复杂，应力往往是两向或三向的，这样的应力状态称为复杂应力状态。一个构件上任意一点的受力状态，可用其单元体上的 9 个应力分量表示，其张量表示为：

张量表示

（a）物体受力情况；（b）A点单元体的应力分量

根据切应力互等原理，

。这样，实际上一点的应力状态只有 6 个独立应力分量为：

。其中，前三个为正应力，后三个为切应力。切应力的脚标，第一个表示力所作用平面的法线方向，第二个表示力作用的方向。对于各向同性线弹性体，有如下两种表示，分别表示应力-应变关系和应变-应力关系：

对于各向同性线弹性材料，只有两个独立的弹性常数。应力-应变关系中两个弹性常数

和

称为拉梅常数，

又称剪切模量，

为克罗内克张量。应变-应力关系中的弹性常数分别为弹性模量

和泊松比

。由于独立的弹性常数只有两个，选定了两个弹性常数之后，其他的都可以用这两个弹性常数来表示。正交各向异性材料正交各向异性材料具有三个正交 的对称面。如果基向量（e₁ , e₂ , e₃） 垂直于对称平面，则这种关系的逆关系通常写为：

横向各项同性材料观各向同性材料关于绕对称轴的旋转是对称的。对于这样的材料，如果e₁是对称轴，逆胡克定律可以表示为：

定律表示

胡克定律是力学基本定律之一，是适用于一切固体材料的弹性定律。它可表述为：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。在单向应力状态下应力和应变的关系为：

。式中，E 为杨氏弹性模量；G 为剪切弹性模量。弹性模量是描述物质弹性的一个物理量，是一个总称，包括杨氏弹性模量 E、剪切弹性模量 G、体模量 K 和泊松比。E和G有如下关系：

。式中，

为泊松比。材料的横向应变与纵向应变之比就是泊松比。

弹性变形是一种可逆性的变形，具有可逆性、单值性和变形量小等特点。材料在外力作用下，先发生弹性变形，外力去除后，变形完全消失，从而表现为弹性变形的可逆性特点。原则上弹性变形又具有单值性的特点。材料在受拉伸、压缩、扭转、剪切和弯曲载荷作用下都会产生弹性变形，在弹性变形过程中，无论是加载还是卸载，其应力和应变间都保持单值线性关系。一般由正应力引起的弹性变形称为正弹性应变，由切应力引起的弹性变形称为切弹性应变。弹性变形的变形量很小。材料弹性变形主要发生在弹性变形阶段，但在塑性变形阶段还伴随发生一定量的弹性变形。即使这样，两个变形阶段的弹性变形量也很小，一般不超过0.5%~1%。

当杆件受到单向拉伸时，杆既产生轴向伸长还产生侧向收缩，在线弹性范围内，垂直于载荷方向的应变ET的负值与沿载荷方向应变EL之比。泊松比为一常数，即v=-et/el。v是量纲为1的量，也是材料力学特性的重要参数，其数值随材料而异，需通过实验测试得到。泊松比是以S.-D.泊松命名的，因为他曾最早致力于采用分子相互作用理论从理论上预估这一比值。对于一般的三向弹性应力应变状态，泊松比仍是表征材料弹性特性的胡克定律中的重要弹性常数。对于各向同性线弹性材料，泊松比范围一般为0<v<0.5，v=0.5表示体积不可压缩材料，如橡胶和石蜡;而软木的泊松比几乎为零，混凝土的泊松比约为0.1，金属材料的泊松比通常介于0.25~0.35。

滞弹性一词由于1947年首先应用，后发展为材料科学的一个研究领域。经典弹性理论基于下列假定:首先，应变是对应于应力的均匀的平衡值，即可完全回复，不残留永久形变。其次，这种平衡值是瞬时达到的，即单值对应关系。3应力和应变是线性关系。用这些假定描述的固体称为理想弹性体。各种实际固体对这三条假定的偏离情况是:后两条属于非弹性体。滞弹性体的应力与应变关系仍然是线性的，应力卸除后可以完全回复到原始形状和尺寸，只是要经过充分长的时间才能达到，即应变对应力有滞后现象，故称之为滞弹性。它与不可能完全回复的非弹性体有明显的区别。

胡克定律广泛应用于磅秤制造、应力分析、材料模拟等领域。除此外，胡克定律也是弹簧秤、检流计等机械的基本原理。弹簧测力计基于胡克定律被发明，并且在物理试验室中被广泛使用。

弹簧秤弹簧秤的秤重原理是由虎克定律（Hooke's law）而来：弹簧受到外力作用产生变形，在弹簧线性的条件下，变形量将与外力大小成一定的比例关系，而变形所产生的弹力会与外力的大小相等，所施的力越大，变形量就会越大。应用在弹簧秤上时，依照弹簧变形量的大小就可量测出被测物的重量。

均匀钢筋的拉应力公式推导弹性模量也被称为杨氏模量，是固体力学中用于表征材料弹性变形的基本量。胡克发现弹簧的弹性性质之后，就将这一性质推广到了固体材料中，他指出，具有弹性性质的各类构件都满足

的公式。承受拉伸或压缩杆件的外力作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。根据圣维南(Saint-Venant)原理，在离杆一定距离之外，横截面上各点的变形是均匀的，各点的应力也是均匀的，并垂直于横截面，即为正应力，设杆的横截面面积为A，则有

正应力的符号规则：拉应力为正，压应力为负。等直杆受轴向拉力F作用，杆的原长为l，面积为A，则杆的轴向伸长为：

，用内力表示为：

上式为杆件拉伸（压缩）时的虎克定律。式中的E称为材料的拉伸（压缩）弹性模量，EA称为抗拉（压）刚度。用应力与应变表示的胡克定律为：

。弹簧弹性势能计算如果用力抖动一根软弹簧形成横波，那么会看到平衡位置处，弹簧形变最明显，而最低和最高点几乎还是原样，如下图所示。平衡位置的加速度为零，速度必然最大，所以动能就是最大。如此一来，动能和势能同步达到最大，当然也会同步达到最小。

软弹簧形成横波示意图

从根本上说，只有当内部各点的位移不同，导致各点之间发生相对位移，也就是物质产生了形变时，才会形成弹性势能。对机械波来说，波函数的变量 是描述媒质中点的偏移量的。它是位置和时间的函数，换句话说，同时刻不同点的偏移量不一致，所以自然会导致各点之间发生相对位移，也就是波的媒质发生形变，这就能导致弹性势能。媒质中质元的势能取决于波形曲线上的切线的斜率，斜率绝对值越大，势能越大，绝对值越小，势能就越小。质元的动能和势能随位置和时间的变化规律一样，用更物理的语言说，它俩是同幅同相变化的，对确定点，二者的值每时刻都完全一致。其中，能量与坐标和时间相关的部分具有简谐波的标准形式。因此，机械波的能量本身也形成一个简谐波，它的频率是波的频率的两倍。对简谐波来说，能量的传播速度就是波本身的速度，简谐波的质元并不是做简谐振动，因为相邻的质元之间有力的作用，所以质元做的是受迫振动而非简谐振动。

线性恢复力驱动下的谐振子

当波前刚抵达某个质元时，它还处于平衡位置，此时质元的能量是最大的。在一个波峰或波谷抵达某质元的过程中，它的能量沿波的传播方向流出；当波峰或波谷到达质元后，它又重新开始吸收来自波源方向传入的能量，再次回到平衡位置。如此反复，能量沿着波线方向不断向前传播。

应力松弛这是材料的结构重新调整的一种现象，它和蠕变同为物质内部结构变化的外部显现。这种现象对应于黏弹性材料本构方程的一种形式。这种可观测的物理性质取决于材料分子（或原子）结构的统计特性。应力松弛往往会带来不利影响，如高压蒸汽管道中，法兰紧固螺栓的锁紧力可能随时间降低，故每隔一段时间需拧紧一次，以防漏气。 应力松弛和蠕变一样，来源于材料的黏性。因此，更复杂的黏弹塑性和黏塑性材料也都有应力松弛现象。

谐波振荡器谐振子是一种在经典力学和量子力学中都有重要应用的模型。它是弹性、声学、交流电路、分子和晶体振动、电磁场和物质光学性质等不同现象的数学处理的原型。经典力学中谐振子的简单实现是一个粒子，该粒子受到与其从平衡位置的位移成比例的恢复力的作用。这种力可能源自遵守胡克定律的弹簧。根据胡克定律，该定律适用于位移足够小的实际弹簧，恢复力与距平衡位置的位移（拉伸或压缩）成正比。